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1、分块矩阵及其应用【摘要】排队论是代数学中重要的组成部分和主要的研究对象。 分块矩阵可以降低高阶矩阵的级数，使矩阵的结构更清晰，简化矩阵的相关计算，并能证明与矩阵相关的一些问题。 本文详细全面地论述了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算及其初等变换，并证明了矩阵分块在高等代数中的应用。 包括用分块矩阵证明矩阵秩问题、用分块矩阵求行列式的问题、用分块矩阵求逆矩阵的问题、分块矩阵相似的问题。 【关键词】:分块矩阵； 矩阵秩； 逆矩阵； 行列式列表1引言. 22矩阵块的定义和性质. 22.1矩阵块的定义. 22.2块矩阵的运算. 22.3块矩阵的初等变换. 32.4 n次准对角矩阵的。
2、 性质. 33分块矩阵在高等代数中的应用. 43.1分块矩阵在矩阵秩证明中的应用. 43.2用分块矩阵计算行列式. 73.3分块矩阵在求逆矩阵中的应用. 113.4分块矩阵在线性方程求解中的应用. 164总结. 高等代数是一个重要内容，也是高等数学的一个重要组成部分，在学习它的时候，经常会遇到一些很难的问题。 我们经常要用矩阵块来解决。 它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简单。 例如，在处理高次矩阵或具有特殊结构的矩阵时，使用一般的低次矩阵的方法往往很困难，为了研究问题的方便，另外为了显示矩阵中某部分的特性，大多使用大型矩阵。
3、将矩阵划分为几个子块，将每个子块视为一个元素，组成一个块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。 利用矩阵分块，可以将高阶矩阵分割为阶数较低的“块”，并对这些“块”元素的矩阵进行矩阵运算。 本文深入研究了分块矩阵的加、乘、转、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵相关秩证明问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用。 矩阵分块可以使矩阵的证明和计算非常简洁快捷，便于理解和掌握，而且可以开拓思维，提高运用知识解决问题的能力。 2分块矩阵的定义和性质2.1分块矩阵的定义矩阵分块是将一个大矩阵看作几个次矩阵构成的，运算时，将这些次矩阵作为几个数处理，给出矩阵的运算带。
4、来方便。 将a作为域p上的矩阵，将a的行分割为r段，各段分别包含行，另外将a的列分割为s段，各段包含列。 于是，a可以用小块矩阵表示如下。 A=这里是矩阵。 这种分割法称为矩阵的分块。 2.2分块矩阵的相关运算性质2.21 .加法运算：设为同型矩阵(行数和列数分别相等)。 如果采用同样的分块法，A=B=可以直接相加。 2.22假设ab=c(a、b在同型矩阵中具有相同的块方式)，乘法器：具有以下块形式： 这里，2.23 .块矩阵转置：一般情况下，如果A=为一个块矩阵，则块矩阵采取转置规则。 第一步：将每个块看作元素(数) 2.3 .块矩阵的初等变换块矩阵的初始。
5、等变换是处理块矩阵问题的重要工具，通过矩阵初等行变换的推广，可以定义以下三种变换为块矩阵初等行变换： (1)行列式为非零方阵的左乘)右乘。 )调换两行的位置。 )3)某块行的(矩阵)倍)，即在此块行的各次矩阵中添加左乘或右乘的矩阵。 2.4. n阶准对角矩阵有以下性质。 (1)对于同类型的两个n阶准对角矩阵(其中相同阶方阵)，A=B=，AB=(2)2)； )3) a可逆等价于可逆，且。 2.5分块矩阵相似的条件定义1 :作为阶块矩阵，有可逆分块矩阵时，称为相似，表示。 进行矩阵的乘积运算称为对相似变换，是可逆的。
6 .块矩阵被称为相似因子阵列。 相似是分块矩阵之间特殊的等价关系，即两个相似分块矩阵是等价分块矩阵； 否则。 也就是说，类似关系具有以下性质。 1 )反身性； 2 )存在对称性的； 3 )传递性。 假设从定义中还可以得到类似矩阵的下一个运算性质：1)2)3)4)任意一个多项式。 特别是有。 定理1两个对角矩阵相似的充要条件是对角线上的元素相同，排列顺序不同。 证明：假设a，b为两个对角矩阵，且a与b相似，则根据相似矩阵的性质可知，存在可逆矩阵x。 因此，有些事情还可以从a、b是对角矩阵中看出。 上式成立的充要条件只是对角线上的要素相同，排列顺序不同。 定义2作为定义于所有次的分块矩阵的集合的函数，是对中的任意2个类似矩阵。
7、a和b，在总是有的情况下，被称为相似不变量。 定理2矩阵的行列式是相似不变量。 证明：存在可逆矩阵x，因此行列式表示相似不变量。 三分块矩阵在高等代数中的应用3.1分块矩阵在矩阵乘积秩证明中的应用定理1，设a为域p上mn矩阵，b为域p上ns矩阵，秩min秩、秩即乘积的秩不超过各因子的秩。 证明：为了证明这个定理，证明秩(AB )秩(a )，同时证明秩(AB )秩(b )即可。 让我们分别证明这两个不等式。 指令=，可以用线性表示秩，即秩秩，可以用线性表示秩，即秩，即秩定理2设，都是nn矩阵，证明秩
8、在证明基础解系统维数秩即秩3.2分块矩阵其他相关矩阵秩中的应用实例均为秩矩阵，求解：秩秩秩
(第2行(-E)+第1行) (第1列(-B-E)+第2列)所以由初等变换知=因为，都可逆所以秩=秩而秩秩秩=秩+秩所以秩秩+秩例2 设为矩阵,是从中取行得到的矩阵,则证明：不妨设是的前S行,而后行构成的矩阵为,则又显然有于是例3设A为s n矩阵，则有秩()-秩()=n-s证明：因为=又因为可逆所以秩=秩，而秩=秩 ()+n 所以秩=秩=秩()+n (1)又因为=同理可得 秩=秩=秩() +s (2)(1)、(2)式相减即得秩()-秩()=n-s 3.2 利用分块矩阵计算行列式3.1引。9、理设矩阵H=或H=其中A1,A2,As是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1|A2|As|3.2利用分块矩阵计算行列式设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式=矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算命题1设A、B分别为m与n阶方阵.证明:(1)当A可逆时,有=(2)当B可逆时,有=证(1)根据分块矩阵的乘法,有由引理知,两边取行列式即得(1). (2)根据分块矩阵的乘法,有两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆.推论1设A,B,C,D分别是m,n,nm和mn矩阵.证明(1) (3)(2) |A-DC|. (4)证明：只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);。
10、在(2)中令B=En,即得(4).推论2C,D分别是nm和mn矩阵.证明： (5)证明：证明在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5).例1计算下面2n阶行列式|= (a0)解令A=,B=，C=,D=且都为n阶方阵.由于a0,故A为可逆方阵.又易知从而由命题1中(1)得|=例2计算行列式,(ai0,i=1,2,n);解设Q=，其中A=(),B=,C= ,D= 因为ai0,i=1,2,n,所以B是可逆矩阵.又易知从而由命题1中的(2)得= .=例3：设行列式 , 试展开.解：把矩阵进行分块如下:=;其中当,可逆。此时选取矩阵： 则有：上面等式两边取行列式，便有 ; 但是这。
11、样有 =当时，也可以表示为上述形式，所以行列式的展开式为:.3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或者初等变换的方法来解决，而此类方 法对级数较高的矩阵运算量较大，这时我们可以运用分块矩阵，求出非奇异分块矩阵A的逆，得相应子块的逆，即用相应的分块形式得出分块矩阵的逆。 命题1 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵, 为阶方 阵,当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，并且 特例 当，与都可逆时，有. 当，与都可逆时，有 当，与都可逆时，有 证明： 设可逆，且，其中为阶方阵，为阶的方阵. 则应有即 ， 于是得到下面的等式XA+YC=E(1) XB+YD=0(2) ZA+WC=0。
12、(3) ZB+WD=E(4)因为可逆，用右乘(2)式可得代入(1)式得 则.用右乘(4)式可得 代入(3)式得则可得-.所以.命题2 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵，为阶方阵，当与()都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵,并且 =特例 (1) 当，与都可逆时，有 (2) 当，与都可逆时，有 (3) 当，与都可逆时，有. 例1：设求。解：把分块成因，所以可逆，且均可逆，所以因为所以同法算得所以例2 设M，求. 解 令，. 则很容易求得，且-由命题2可得，本小节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别中那些可逆那些。
13、不可逆,再具体运用.3.4分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组记，为系数矩阵，为未知向量，为常数项向量，为增广矩阵，按分块矩阵记法可记为或此方程也可记为，把系数矩阵按行分成块，则可记做 把系数矩阵按列分成块，则与相乘的对应按行分成块，记作 ，即，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于个变量个方程线性方程组如果他的系数行列式，则它有唯一解，即证明：把方程组改写成矩阵方程，这里为阶矩阵，因，故存在，令，有表明是方程组的解向量，由 ，有 ，即，根据逆矩阵的唯一性，知是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式，有即即结束语：矩阵得分块不算是一个抽。
14、象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。本文主要论述了分块矩阵的概念和性质和分块矩阵在中的应用。对于同一个矩阵有着不同的分法，这就要求我们平时要善于观察，争取把矩阵的分块用到恰到好处。在我们利用矩阵的分块来解决问题的时候，我们要注意一些问题，比如我们在做分块矩阵相乘的时候，要注意到前面的矩阵的列的分法必须和后面矩阵行的分法一致，两个分块矩阵相加时，它们所对应的子块行数和列数必须一样。通过上面介绍的分块矩阵在高等代数中的几个应用，可以看出，利用分块矩阵可以使一些复杂的问题简单化，大大的减少运算量，比如说我们在利用分块矩阵求行列式，如果不利用矩阵的分块将很难解决。总而言之，矩阵的分块贯穿整个高等代数的内容，在日常生活中，我们要善于发现它们的内在联系。