线性变换及其矩阵表示和相似变换
给定一组有限维向量空间v的基{e1，e2， en}，用于此组基的一个线性变换t : v-v的“矩阵分量”[t(I，j ) ]被定义为：
tEJ=sigma(I=1ton，t ) I，j ) ei )=t ) 1，j ) E1t )2.t ) n，j ) en
总之，此线性变换将基向量ej变换为新的向量，继而是基向量的例如线性组合，系数为此[nxn]矩阵[T]的列向量，并且第j列对应于ej。 因此，在基矢量组下，存在这样从一个一个的线性变换到矩阵(系数矩阵或坐标变换矩阵)的一对一的对应。
t(E1，e2，en )=) E1，e2，en ) [T]
再次注意，t表示线性变换，其中[T]为基向量组[e1，e2，en]下的t的对应矩阵。 如果改变一组基向量，则同一个线性组合有不同的对应矩阵。
考虑基向量组的线性变换a (将一个基向量组变换成另一个基向量组)及其逆变换a，应用上式
(e1，e2，en )=A ) e1 '，e2 '，en ' )=) e1 '，e2 '，en ' ) [A]
(e1 )、e2 )、en )=a () e1、e2、en ) )、e1、e2、en ) [ a ] ]
显然有[A'][A]=[I]
一个向量v=(E1，e2，en ) [v]，其中列向量[v]明显是坐标。
那么，v=(E1 )，e2 )，en ) ) v )用另一组表示的话，就是[A][v]=[v'] )。 这就是基变换中的相应坐标变换。
根据线性变换的性质得到：
t(E1，e2，en ) ) v )=te1v1te2v2.tenVN=t ) ((E1，e2，en ) ) v ) )
然后，(e1 )、e2 )、en ) ) [ t ] [x]=t ) e1 )、e2 )、en ) ]=ta () e1、e2、en ) [ x ]
请注意ta'[e1，e2，en][A]不等于ATA'(e1，e2，en )。 因为[a]不是与基向量群ta'[e1，e2，en]下的a相对应的变换矩阵
若假设相同的线性变换t为基向量组[ e]下的矩阵为[ t]，则基向量组[e]下的矩阵为[ t ]=[ a] [ t] [ a ]。
特征量和特征向量
如果存在非零向量v，且有S v=l v，则l是s的特征值，v是对应的特征值。
对于任意的l，很容易证明Vl={u |S u=l u}是线性空间。 包含与所有l相对应的特征向量。 如果l不是s的固有值，则很明显Vl={0}。
(未完待续) ) ) ) ) )。