一、(一阶线性递推公式)假设已知数列的项得到满足，其中求该数列的通项公式。
用数学归纳法可以解决这个问题，但太繁琐了，而且用预测通项式容易出错。 本文将对问题中的递推关系式建立一个方程称为特征方程，提出了一种易于理解的解法——特征方程法； 利用该特征方程的根快速求解通项公式.以定理的形式阐述。
定理1 )以上述递推关系式的特征方程的根为，是当时认为常数列，即其中公比的等比数列，即。
证明：因为我们需要从特征方程中改变原则
当时，我以为数列是公比的等比数列
当时，是0数列，所以(证完) )。
列举2例说明定理1的应用。
例1 .已知的数列满足以下条件：
解：建立方程
当时，
我认为数列是公比的等比数列。 于是
例2 .已知的数列满足递推关系。 其中以虚数为单位。 取哪个值时，数列是常数数列？
解：建立方程必须是常数，也就是说
() (二次线性递推公式)定理2 )根据递推公式，对于给定的数列、方程，称为数列的特征方程。
在特征方程式的两个根的情况下，当时，数列的一般项，其中a、b由确定(即，将和代入，得到关于a、b的方程式) )。 当时，数列的一般项，其中a、b由确定(即，代入和，得到关于a、b的方程式)。
例3 )满足已知数列
，求出数列的一般公式。
解法1 (未定系数——堆栈加法) )。
是的，得
，
然后。
数列是第一项，是公比的等比数列。 于是。 赋值，得
，
，
，
……。
把以上各式相加，就可以得到。
解法二(特征根法)数列)的特征方程如下。
，
另外，所以
所以
三、)递推公式)定理3 )如果数列为已知值，且满足(但p、q、r、h均为常数，且)的条件，则特征方程是可能的。
)特征方程式中有两个相同根(称为特征根)时，
如果是这样的话
如果是，其中
特别地，当存在使用者时，无限数列不存在。
(2)特征方程有两个不同的根，(称为特征根)时，
其中
例3、已知数列满足性质：的通项式。
解：根据定理对特征方程进行变形，其根在故特征方程中有两个不同的根，使用定理2的第(2)部分，
有
也就是说
示例5 .已知的数列被满足：关于所有
)1)寻求时
)2)寻求时
)3)寻求时
)4)取什么样的值时，不存在无限数列呢？
解：变形特征方程
特征方程式中的两个相同的特征根由定理2的第(1)部分解答。
(1)对都有
2
令、得.所以数列从第5项开始就不存在，
n4、的情况。
(3) () () )
对令则
(4)、显然当时，数列从第2项开始就不存在。 从本题之第)小题的解答过程中可以看出，时、数列是存在的，当时有令可得)为2。
((其中n )2)的情况下，数列不从n项开始存在。
因此，当集合{-3或2}取值时，发现不存在无限数列。