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线性空间的定义：给定非空集合和域，如果存在映射。 (如果从v和v自身的发箍集合到v的映射中的任意一个中取V1和V2就可以算出一个值(该值还在v上) ) ) ) ) ) ) ) )。
叫做上面的加法。 (通常，如果把运算比作加法运算，就是映射，并且习惯于二元映射)。
和映射：
称为v和f之间数的乘法，标记为。
并且，当这两个运算满足通常的算法时，v对于这个加法和数乘法被称为域f上的线性空间。 (我们直觉上认为这是集合，为什么叫空间，只是习惯这么叫，没有别的意思) )。
以上定义可以理解为，v取2个元素得到第3个元素，且第3个元素还在v。 计算这第三个元素叫做前两个元素的加法。
解释：“域”:有加减乘除四种运算系统。 此域中的所有数据经过这四个运算仍在此域中。
例如：因为没有1-2、2/3等，所以不是域。
因为不满足除法，所以也不是域。
Q={有理数}满足4个运算，因此称为有理数域。
R={有理数，无理数}满足4个运算，因此称为实域。 符号c称为复域。
“”:表示集合之间的乘法，而不是数之间的乘法。 叫做笛卡尔氏集。 参与运算的不是数量而是集合。 两个集合可以相同也可以相同。
从集合S1中取出一个要素S1，从集合S2中取出一个要素S2，构成一个秩序对[S1，S2]。 所有秩序对的集合称为集合s1和s2的笑的发箍集合。 例如，集合S1有5个要素，集合S2有6个要素，由这2个人构成的爱笑的发箍集合有30个要素。
解析几何学是从常数数学向变量数学过渡的伟大一步。 这个观念是笛卡尔提出的，笛卡尔的核心是建立坐标系。 将横轴和纵轴为平面的点对位，识别了平面和直线的关系。 也就是说他揭示了平面的几何结构。 平面可以看作是直线爱笑的发箍集。 也就是说，平面可以用两个数对齐。 虽然在我们看来现在很稀疏。 但是当时是非常伟大的一步。
“”:表示映射，前后连接的是两个集合，例如表示是从集合a向集合b的映射。
“”:也表示映射。 前后相连的是集合中的要素。 例如，上述集合a中的要素a经过映射成为集合b中的要素b。
/这个函数可以写
“常规算法”:加法：
交换定律：
结合律：
存在零元：存在，满足
有负元：任意、存在、使、记
乘法：
分配定律：
(第一个号码是数域f的加法，第二个号码是v的加法。)
f中的乘法关系
与f中1的关系：
“数乘法的数为什么写在右边”:
1*1 3*1 3*1 1*1 写在右面可以把数看作矩阵运算可以把数乘法理解成矩阵乘法若数乘法的向量为列向量，数乘法的数写在右侧。若数乘法的向量为行向量，数乘法的数写在左侧。好处在于可以把数乘法和矩阵乘法看作同 一个数来对待。（后面的许多矩阵中的技巧都源于这个规定）
例1（F上的标准线性空间）
V表示n个集合的卡式集，从这n个集合F中每个集合取一个元素构成的所有N元组的集合。
验证集合V满足加法和数乘法的8条性质即为线性空间。从一个数域出发可以造一个标准的线性空间
例2 几何空间作为线性空间（怎么用线性空间的角度来看几何空间）
V={空间又向线段的全体} F=实数域R
加法：平行四边形法则 数乘法：同向或反向伸缩 满足八条运算规则，把几乎空间里面的所有的几何性质都翻译成了代数运算系统
当两条有向线段经过平移能够重叠，则把这两条线段算成一条线段。
平行四边形法则：把两条又向线段的起点移到同一个点，以这两条线段为临边做出一个平行四边形，则这个平行四边形的对角线，就称为平行四边形法则。
例3 函数空间（）
加法对应分量相加 数乘法对应分量相乘
I=[0,1],[1/2,3].........等表示函数的定义域。是n元数组构成的集合 I是定义域，是取值空间 V表示从I到的所有函数的集合
比如 则 函数空间中的元素以0，1区间为定义域，具有两个分量的二维向量值函数，把这些元素作为一个元素，则所有这些函数的集合就称为函数空间。