103二重积分的换元积分法
在一元函数定积分的计算中，我们常常进行原语，以删除繁体字使之简单为目的。 当然，二重积分也有元积分的问题。
首先，让我们回顾一下之前讨论的事实。
将元函数看作定义域到的映射，记为点的像点为，点x的像点为
，
设点到点的线段长度为，到点的线段长度为，称为点到点的平均伸缩率。 如果能用点来引导的话
=
称为映射到点的伸缩率。
关于从平面区域到的映射，可以得到以下结论。
引理如果变换在开域中存在连续偏导数，则为雅可比行列式。 将平面上开放区域变换为平面上开放区域。 于是，如果其像点为，则包含点面积微单元与包含对应点的面积微单元之比，即=
说明引理3.1。 省略严密的证明。 从图3开始。 如图1所示，在内形成以点为顶点的矩形，变换分别为平面上的4点，矩形为曲边四边形。 曲边四边形4个顶点的坐标由狠八宝粥公式表示：
：
：
：
高阶无限小，曲边四边形接近平行四边形，忽略其面积
===其中是矩形的面积。 于是
在引理条件下，函数组在的某个附近具有连续的反函数组
而且根据9.1节的性质，1.2有=于是==
定理3.1有界闭区域上函数连续，函数群将平面上区域一一对应变换为平面上区域，且该函数群中存在连续的偏导数时
=
证用任意分法将区域划分为小区域，分别划分其面积； 将变换、分法改为上的分法，分割为小区域，将其面积分别表示，从引理可知，对于
于是，我们应对了上面唯一的一点，于是
在定理3.2的条件下，变换在有界闭区域上存在连续的反函数组，他们必定是上一致连续的，这时，一定又注意到函数存在的连续性，他可以上可积。 因此，在中令中，完成有=定理3。 2的证明。
在二重积分的计算中，当被积函数为的形状时，或者积分区域为所谓的圆形区域时，可以通过使用通常极坐标变换使前者简并为一元函数。
如果后者是图3.2所示的区域，则可以通过极坐标变换在平面上的模型区域中能量化。 积分=)
=
特别是极位于边界扇形区域，即积分
=
极点位于区域内部，边界对区域进行积分
=
例3.1计算
解极坐标变换将圆区域d变换为矩形区域，
由式(3.5 )得到
=
例3.2计算，d为
是被包围的区域。
解积分区域如图3.5所示，当进行极坐标变换时，被d化为区域，其边界曲线成为=，从而得到
==
例33其中d是被包围的平面区域
存在=-和=4，如解区域d和图3.6所示
在极坐标系中，有。 因此，=从那里开始=4-。
例34计算，其中d是由曲线包围的有界区域。
解积分区域d可以显示，所以进行置换
，则积分区域为极坐标
于是
例35计算
解对称性，原积分
其中。 广义极坐标变换：
转换为矩形区域(图3.7 )
然后呢
于是
求出例36曲线包围的区域的面积
解由二重积分的性质可知，区域的面积
转换：
，
此转换平面上的曲线是平面
上面的曲线为，区域为
平面上不能自由和的区域(图3.8 )。 然后呢
于是
例37计算
变换解后，变换为闭环域，并且
所以
由于对称性
于是
例38计算是由、和包围的区域。
转换解将、和转换为平面上的方形区域(图3.9 )。 因为
然后呢
所以
我又注意到了，于是
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