结论：
递归公式：
d(n )=) n-1 ) [d ) n-2 ) d(n-1 ) ]
其中，d(1)=0，d ) )2)=1。
通式：
d(n )=n！ [(-1 ) ^2/2！ …(-1 ) ^(n-1 )^(n-1 )！ (-1 ) )接下来！ ]。
派生流程：
问： 10本不同的书放在书架上。 现在重新排列，让所有的书都不在原来的位置。 有几种摆法吗？
推广这个问题的话，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。 假设有n个元素的数组。 如果一个数组中的所有元素都不在自己原来的位置，这样的数组就称为原来数组的一个错误。 n个元素的误植数表示为d(n )。 研究排列错误个数的问题称为排列错误问题或更列问题。
由于错排问题最早是由lqdyg和Euler研究的，因此历史上也称为tmdmf的错信封问题。 这个问题有很多具体的版本。 比如说，写信的时候把n封信放进n个不同的信封里，有多少种情况会全部错放在信封里？ 例如，如果四个人各自写一张贺年卡互相赠送的话，有多少赠送方法呢？ 因为自己写的贺年卡不能给自己，所以也是典型的失配问题。
如果将n个编号要素置于n个编号位置，并将要素编号和位置编号分别不对应的方法的数量设为d(n )，则d ) n-1 )表示在n-1个编号位置配置n-1个编号要素，分别不对应的方法的数量，其他相同。
首先，将第n个元素放置在位置k这样的位置。 共有n-1种方法；
第二步，放置编号为k的元素。 此时，有两种情况。 如果将其放置在位置n，则对于剩下的n-1个元素，第k个元素被放置在位置n，所以剩下的n-2个元素有d(n-2 )的方法。 第k个元素不放在位置n。 这种情况下，对该n-1个元素有d(n-1 )方法；
综合得到
d(n )=) n-1 ) [d ) n-2 ) d(n-1 ) ]
特殊，d(1)=0，d ) )2)=1。
根据以下递推关系导出通项公式
为了方便，设d(k )=k！ n(k )，k=1，2，n，
n(1)=0，n ) )2)=1/2。
如果n3，则为n！ n(n )=(n-1 ) ) n-1 )！ n(n-1 ) ) n-1 )！ n(n-2 ) )。
即，nn(n )=(n-1 ) n ) (n-1 ) n ) )2)
于是，n(n ) n )1)=-[n(n-1 )-n(n-2 ) ]/n ) (-1/n ) [-1/(n-1 ) ][-1/(n-2 ) ]…(-1/)
于是，我决定
n(n-1 )-n(n-2 )=(-1 ) ^ ) n-1 )/(n-1 )！然后单击，
n(2)-n )1)=(-1 ) ^2/2！
相加，得到
n(n )=(-1 ) ^2/2！ …(-1 ) ^(n-1 )^(n-1 )！ (-1 ) )接下来！
于是，我决定
d(n )=n！ [(-1 ) ^2/2！ …(-1 ) ^(n-1 )^(n-1 )！ (-1 ) )接下来！ ]。
即错排公式
来源：百度百科~
简单例题：
hdu2048