时间序列是一组与时间关联的数据序列。
2.分类按照研究对象可分为一元时间序列、多元时间序列；
按照连续性可分为离散时间序列、连续时间序列；
按照统计特性分为平稳时间序列、非平稳时间序列。其中，序列概率分布与时间无关，则称该序列为狭义平稳时间序列；如果序列的一二阶矩存在，且对任意时刻满足：1.均值为常数；2.协方差为时间间隔的函数；则称该序列为广义平稳时间序列。
按照时间序列的分布规律可分为现实的镜子型时间序列、非现实的镜子型时间序列。
3.方法概述时间序列的预测往往是以下几种预测手段的叠加或者耦合：
1.长期趋势变动，即变化具有总体趋势。
2.季节变动，即一年内随季节变化而有规律的周期变化。
3.循环变动，即几年内呈现出的周期性变化。
4.不规则变动，包含随机波动与不规则的突发性变化。
4.常用方法 4.1移动平均法移动分析法包括：简单移动分析法、加权移动分析法、趋势移动分析法。主要是分析、预测序列的长期趋势用。
1.简单移动分析法，公式如下：
方程左边是t时刻的估计值，右边是t时刻前N个时刻的平均值。N的选定视问题而定，如果数据呈现一旦的周期性，那么就选为周期的时间点数；如果趋势变化不大，那么N相对可以大一些，反之则要取美好的太阳点。
衡量它预测程度好坏的指标用标准差：，由于计算是前N项的平均，所以对于序列开始的1--N项是没有值的，所以分母是T-N。
模型构成简单，适合平稳趋势，对于复杂情况难以预测，只能描绘大致趋势，不适合做长期预测。
2.加权移动分析法，公式如下：
其实就是1的拓展，1也可以视为2的特例——所有权系数取1。方程左边是对t+1时刻的预测，右边是t+1时刻前N个时刻的加权平均。权系数是人为确定，一般是近期取得大。
权系数的确定具有经验性的缺点，需要对模型有足够的了解。适合平稳趋势，也不太适合做长期的预测。
3.趋势移动分析法：
公式1：
公式2：
公式3：
公式4：
公式3就是最终预测序列的函数，可以观察到序列的基本模型是线性的，因此适用于总体趋势为线性。
滞后性依然存在，而且相比于方法2而言，缺失项更多了（从0--2N项都是缺失的）。好处就是预测更加平滑。对于既有直线又有周期波动的趋势可以很好拟合。
4.2指数平滑法指数平滑法包括：一次指数平滑法、二次指数平滑法，三次指数平滑法。
1.一次指数平滑法，公式如下：
这里说明一下：带^的都是估计量，不带^的是真实值。实际上这个公式就是4.2.1的一个延申，推导过程如下：
这里我们取N=1，并用Mt-1去估计yt-1，进一步整理得到：
然后1/N可替换成α，就得到了一次指数平滑的公式（Mt就是对yt的估计），至于它为什么叫一次指数平滑，是因为它的权系数呈现指数的特点。
改写一次指数平滑公式形式：从该式子可以看出α的实际意义——误差修正程度，α越大，模型越灵敏，反之则不。α的范围在0-1之间，如果数据较平稳，就可以选美好的太阳点，例如0.1-0.4，如果数据波动大，就可以选大一点，例如0.6-0.8。除了α的确定，这个模型中还要确定一个初始估计值y0，当数据量较大而前期又不是很重要的时候，y0可以选0，而如果数据量很少，就需要人为地选择一个合适的y0.
这种预测模型比较灵活，适合短期、长期的预测（由α确定）。
2.二次指数平滑法，公式如下：
推导过程如下：
其中S(2)t就是对yt时刻的估计。其实就是用了两次一次指数平滑，同移动趋势分析法相似的套路。
当时间序列呈现线性模型的特点时，使用一次指数平滑会出现“滞后误差”的现象。这里解释一下“滞后误差”，所谓误差就是估计的值与实际的值的差距，而这种差距在图像上表现为延迟，也就是说估计的图像变化要晚于实际的图像变化。而二次指数平滑修正了“滞后偏差”，它的详细推导过程是首先假定时间序列模型是线性的（这是根据已有数据做的判断），然后利用线性的模型假设推导出直线模型中a、b的参数，具体推导详见：https://wenku.baidu.com/view/11f087f5f90f76c661371a2e.html
3.三次指数平滑法，公式如下：
其实就是用了三次一次指数平滑法。具体推导过程同4.2.2。
适用于二次曲线模型的时间序列的预测，也是修正了滞后误差。
总结起来，二次、三次指数平滑法都可以一定程度地减小滞后误差，但是都又限定了适用范围。
4.3差分指数平滑法分为一阶差分指数平滑法、二阶差分指数平滑法。
1.一阶差分指数平滑法，公式如下：
其推导过程如下：
其中，▽代表差分。为了估计yt+1，将差分项套用一次指数平滑，就得到了一阶差分指数平滑。
适用于直线模型的时间序列预测，且能较好地减小滞后偏差。
2.二阶差分指数平滑法，公式如下：
推导过程如下：
显而易见，二阶差分指数平滑就是将二阶差分项、一阶差分项套用一次指数平滑。
适用于二次曲线模型的时间序列预测，且能较好地减小滞后误差。
总结起来，差分指数平滑法能更好地消除滞后偏差的问题，缺点在于适用范围限定了。这种方法下，初始值的选取问题也被改善。这点在公式中可以体现出来，比如二阶差分中，yt+1的估计量很大程度依赖于yt的真实量。
4.4自适应滤波法自适应滤波法公式如下：
这个公式就像是抄的4.1.2的公式一样。但是它改进的地方在于，它的权系数的确定是有依据的：通过不断地调整权系数以使得预测误差减少，直到得到一个“最佳”的权系数。权系数更新公式如下：
其中，公式左边是更新后的第i项权系数wi，公式右边分别是更新前的权系数wi，学习常数k，yt+1的预测误差ei+1，wi权系数对应的项yt-i+1.
尽管权系数可以计算得出，向前计算项数N与学习常数k仍需要人为确定。一般的，N选为周期数，10个点一个变化周期，那么就取N=10；k一般取为1/N。这两个参数的取值都不是绝对的，也就是说具有偶然性。
自适应滤波法有点1层神经网络的味道，但是与神经网络区别在于，自适应滤波的输入包含了输出。自适应滤波法由于实现方式简单，方便计算机实现，因此也被广泛使用。
4.5平稳时间序列模型分为自回归模型（Auto Regressive）、移动平均模型（Moving Average）、自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving Average）。
1.自回归模型(AR(p))，公式如下：
2.移动平均模型(MA(q))，公式如下：
其中Xt被认为与t时刻之前的m个噪声量有线性关系。
3.自回归移动平均模型(ARMA(p,q))，公式如下：
以上三个模型的求解以及推导不久后我会后续列出。