关于旋转和矢量的叉乘
kddbbz 发表于 2009-3-15 23:10:29
响应东方兄的号召，我最近在攻读理论物理的课程。其中遇到了一些疑问，我也以这种交互式的方式贴出来吧。也许这对于问问题的人和看问题的人都有帮助。
我的问题是最近对把旋转和矢量的叉乘这两件事儿联系起来感觉非常困惑。觉得矢量叉乘的很多公式似乎很神乎就冒出来了，能不能给出一种更直观的理解呢？
让我们来回顾一下矢量的叉乘运算的引入过程。
首先考虑两个力作用在一个杠杆上。比如
/---------------------/
A
这里面A这个点就是支点，左右两侧有两个向下的力。它们对A点的力臂是不一样的。这样左边的力会迫使系统逆时针方向转。右边的力会迫使系统顺时针方向转。于是我们看到了两种相反的作用力。他们都起到了旋转的作用。
于是就有人想到，既然这两种方向的转动就好像两种竞争的力一样，那么我能不能把他就用一个矢量来表示呢。比如逆时针旋转的力我让它用一个向上的箭头，而顺时针是一个向下的箭头。但是因为毕竟旋转这种力和作用在杠杆上的直接的力是不一样的，不能混为一谈的。所以，人们就自然想到旋转的这种矢量箭头是垂直于这个纸面的。也就是垂直结实的学姐矢量本身和力臂这个矢量所在的平面突出纸面来了。这样逆时针就是垂直于纸面向外，而顺时针就是垂直纸面向下。进一步，我们还可以定义这两个矢量的大小。这就有了力和力臂两个矢量叉乘的定义。
我想说的是，这个矢量叉乘运算和旋转的哲学上的涵义。在这里，我们看到如果把两个矢量A,B定义的平面看作已经很好测度的空间，那么A╳B定义的矢量就会超出原来的维度。找出一个垂直于这两个矢量的新的维度。
推广来看，这种运算本身揭示了一种很奇特的具有哲学含义的东西。它就是我们怎么能够凭空的在普通的空间中创造出一个纬度出来，那就是利用旋转。广义来看，你让矢量A绕着B旋转就能凭空创造一个新的位于新维度空间中的矢量A╳B。进一步，自然界存在着很多奇特的旋转现象，比如电子的自旋，还包括我们关注的周期运动，它们都可以看作是一种广义的转动。而这种广义的转动就对应了新的维度。好玩的是，转动这件事儿在复数里面也有很多论述。这就是虚数起到了一种旋转的作用。所以从广义看，这些东西就都联系到了一起。
◆◆
评论读取中....
请登录后再发表评论!
◆◆
修改失败，请稍后尝试