学习matlab不久，遇到多项式插值interp1，但在网上没有找到研究其插值方法的文章。
在此，
其中对插值方法进行了一些研究，虽然不属于matlab的范畴，但无聊的研究总的来说没有坏处。
interp1的具体运用也很低，个人理解主要用于样本丢失、样本补充，最后还介绍了傅立叶增值法。
正文：
首先介绍多项式插值函数。
y=interp1(x，y，x，' mothod ' )本文主要讨论' mothod '的四种类型。
线性插值，默认值。
nearst最近邻插值。
样条是三次样条插值。
cubic是一种三次多项式插值方法。 %以后，版本将更改为PCHIP
v5cubic是MATLAB5中使用的三次多项式插值，本文不涉及，但一起进行演示
首先，以matlab代码为例，我们来看看一维插值的四种类型之间的区别。
先给你一组数
也可以在命令窗口中直接输入m代码
x0=-4:0.5:4；
y0=1.//(2x0.^3)；
x=-4:0.2:4；
y1=interp1(x0，y0，x，' linear ' )；
y2=interp1(x0，y0，x，' nearst ' )；
y3=interp1(x0，y0，x，' spline ' )；
y4=interp1(x0，y0，x，' PCHIP ' )； %PCHIP和“cubic”的版本不同，旧版本使用y4=interp1(x0、y0、x、“cubic”)。
y5=interp1(x0，y0，x，' v5cubic ' )； %MATLAB5中使用的三次多项式插值
subplot(2、3、1 )、plot (x0、y0、' r-p ' )； title(y=1/) x^32 ) )；
subplot (2，3，2 )，plot ) x0，y0，' r-'，x，y1 )； title(linear )；
subplot (2，3，3 )，plot ) x0，y0，' r-'，x，y2 )； title(nearst )；
subplot (2，3，4 )，plot ) x0，y0，' r-'，x，y3 )； title (样条线)；
subplot (2，3，5 )，plot ) x0，y0，' r-'，x，y4 )； title(cubic )；
subplot (2，3，6 )，plot ) x0，y0，' r-'，x，y5 )； title(V5cubic )；
拥有matlab的同学不要敲代码，结果如下：
举几个函数的二维插值为例，看看它们有什么不同
[x0，y0]=meshgrid(-3:0.8:3 )； %完成网格向量
Z0=Peaks(X0，y0 )； %z0可通过平移和缩小ladhmgsjx分布函数来获得
[x，y]=meshgrid(-3:0.25:3 )；
Z1=interp2(x0，y0，z0，x，y，' linear ' )；
Z2=interp2(x0，y0，z0，x，y，' nearst ' )；
Z3=interp2(X0，y0，z0，x，y，' spline ' )；
Z4=interp2(x0，y0，z0，x，y，' cubic ' )；
subplot(2、3、1 )、surf (x0、y0、z0 )； title ('原始数据)；
subplot(2、3、2 )、surf(x ) x、y、z1 )； title(linear )；
subplot(2、3、3 )、surf(x ) x、y、z2 )； title(nearst )；
subplot(2、3、4 )、surf(x ) x、y、z3 )； title (样条线)；
subplot(2、3、5 )、surf(x ) x、y、z4 )； title(cubic )；
表示不清楚。 matlab的朋友复制上面的代码就可以显示了。
从上图可以看出，这些插值方法还有区别。 本文研究具体算法，在什么情况下应用；
linear的缺省方法是线性插值，即线性回归。 有不明白的地方请看http://t.cn/RtktoiB
nearst最近邻插值法又称细心的土豆多边形(Thiesen为Dirichlet或Voronoi多边形)分析法，是荷兰气象学家聪明的八宝粥提出的分析方法。 简单来说，通过求出离散分布的气象站降雨量数据并计算平均降雨量，目前GIS和地理分析中常用该方法进行快速赋值。 在精细的土豆多边形的构建中，首先将离散点构成三角网。 这个三角网被称为Delaunaytin。 北京奥运会的水立方是根据这个原理设计的。 首先建立网络，为没有数据的网络分配空值，使最近相邻的数据点之间的距离相等。
看了很多百科全书，就不会手动复制了。 通常，该方法适用于数据紧密、完整、没有很小值的情况。 均匀的数据输入
行插值很有用，对填充无值区域很有效。spline三次样条插值法。在用pchip插值的过程中，matlab会基于所给的函数值来帮你估算各导数值。估算的原则是保证导数值能够正确的反映散点图的形状和变化趋势。比如在散点图是单调递增的区间内，相应点的导数值就会是正的；在散点图表现出存在局部极值点的区间，相应的导数也会产生正负的变化。
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。
原理：假设有以下节点
样条曲线
是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：
a. 在每个分段区间
(i = 0, 1, …, n-1，x递增)， 都是一个三次多项式。
b. 满足
(i = 0, 1, …, n )
c. ，导数
，二阶导数
在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：
，i = 0, 1, …, n-1
其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
cubic立方插值法，matlab新版本叫做pchip三次hermite插值，与spline插值差不多，因为两者X(j)处斜率选择方法不同。spline函数s(x)在X(j)的二节数D^2s(x)也是连续的，导致了不同结果，也就是说，spline更加光滑，D^2s(x)是连续的。
只是spline更光滑一些，总的说，数据是更光滑的函数，spline更加准确，如果数据不光滑，PCBIC不会太震荡，也不会超过目标值，建立难度较小。pchip是保持形状的，而spline不一定保持形状。
总的来说，插值的类型要求数学功底比较深，纯编程朋友还是多多学习，否则随便用起来对数据产生不必要影响就不好了。 再遇到插值问题时，多问问数学专家为妙。
数据过少时，MATLAB可是实现利用傅里叶插值实现数据一维增值
%傅里叶增值
x0=0:1.2:10;
y0=sin(x0);
n=4*length(x0);%采样数据增加
y=interpft(y0,n);
x=0:0.3:10.5;
hold on
plot(x0,y0,'ro');
plot(x,y,'b.-');
title('一维傅里叶插值');
legend('原始数据','插值结果');
MATLAB中效果如图：
傅里叶主要是波动，用在函数上非常准确，如果上面y换成，n=2,那么结果是这样的：
傅里叶变换是在数字信号处理方面很有用的一个方法，在通信和信息专业有很强的应用。
具体理论详见傅里叶分析，傅里叶变换