欢迎来到百家号“yxdbl老师说数学”，初二下的第一章《三角形的证明》，是对初中几何中三角形内容作个了结，其中几个特殊三角形内容是该章节中的重点，如等腰三角形。等腰三角形是数学考试中的中高难度题型出现频率最高的特殊三角形，所涉及考查的内容集中在等腰三角形的“三线合一”及“分类讨论”，特别是等腰三角形的分类讨论，是初二各考试中几何压轴题的常客，本文将把等腰三角形分类讨论情形作个系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
解题经验：看到“等腰三角形”，首先考虑分类讨论
知识分类：
一.对角的分类讨论。
解题思路：题目等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。
例1．一个等腰三角形两个内角的和为100，则它的顶角度数是_______________
解析:由于题目未明确两个内角是顶角还是底角,所以要分两种情况讨论:
①“底角+顶角=100”:根据三角形内角和,可算出另一底角为80,所以顶角为20;
②“底角+底角=100”:根据三角形内角和,可算出顶角为80.
例2. 等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是_________
解析: 解析:由于题目未明确这个角是顶角还是底角,所以要分两种情况讨论:
①“顶角=80”:答案即为80;
②“底角=80”:根据三角形内角和,可算出顶角为20.
二.对高的分类讨论
解题思路：题目等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。
例3.等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长__________
解析:由于题目未未明确高是哪条边上的高,也未明确是否是界内界外高,所以要分三种情况讨论:
①若是底上的高(如图1):根据勾股定律,可算出底边长;
②若是一腰上的高(如图2): 根据勾股定律,可算出底边长;
③若是界外高—三角形为钝角三角形(如图3): 根据勾股定律,可算出底边长.
三.对边的分类讨论(重点---坐标系中的等腰三角形的分类讨论)
(一)普通题型
解题思路：题目等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
fdls等腰三角形两条边长分别是3和6,则它的周长是__________
解析:由于题目未明确两边为何种边,所以要分两种情况分类讨论:
①“腰=3,底=6”时,3+3=6,不符合三角形三边关系,所以此种情况不存在;②“底=3,腰=6”时,可算出周长=6+6+3=15
(二)等腰三角形的两种分类讨论方法
1. “两圆一线”；
解题思路:①以已知线段为底;作它的垂直平分线；②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。一般有8个点，具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。
解题经验：“两圆一线”一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形中，若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置.
例5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有( )个．
解析：已知线段为OA，由勾股定理可得：OA√13。由于题目未明确OA是何种边，所以要分类讨论。
(1)OA为腰时
①以O为圆心，半径为OA画圆，与坐标轴轴交于四点，如图1易求出
P1(0，√13)，P2(√13，0)，P3(-√13，0)，P4(0，-√13)；
②以A为圆心，半径为OA画圆，与坐标轴交于三点(原点舍去)，根据等腰
三角形“三线合一”性质，如图2可求出：P5(0，6)，P6(4，0)；
(2)OA为底时，作OA的垂直平分线，与坐标轴有两个交点。图3依勾股定律可求出：P7(0，13/6)，P8(13/4，0)
例6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，√3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
解析：按上述方法，可得到8个点，但根据对点的坐标的计算，发现其中有两个点出现重叠，所以只有6个点
2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。
例7、如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC(OA＞OC)的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
(1)求C点坐标； (2)求直线MN的解析式；
(3)在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
解：(1)解方程x*2﹣14x+48=0得x1=6，x2=8．∵OA，OC(OA＞OC)的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，∴OC=6，OA=8． ∴C(0，6)；
(2)设直线MN的解析式是y=kx+b(k≠0)．由(1)知，OA=8，则A(8，0)．∵点A、C都在直线MN上，∴8k+b=0,b=6,，解得k=-0.75,b=6,，∴直线MN的解析式为:y=-0.75x+6；
(3)∵A(8，0)，C(0，6)，∴根据题意知B(8，6)．∵点P在直线MN y=-0.75x+6上，∴设P(a，﹣0.75a+6)当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1(4，3)；
②当PC=BC时，a*2+(﹣0.75a+6﹣6)*2=64，解得，a=±6.4，则P2(-6.4,10.8),，P3(6.4,1.2)；
③当PB=BC时，(a﹣8)*2+(﹣0.75a+6﹣6)*2=64，解得，a=256/25，则﹣0.75a+6=﹣42/25，∴P4(256/25，﹣42/25)．
综上所述，符合条件的点P有：(4，3)，(-6.4,10.8),，P3(6.4,1.2)，P4(256/25，﹣42/25)．
数学反思：
想学好数学，最需要的不是多听多练，而是多思考，特别需要多反思、多归纳与总结！
本文由yxdbl老师原创，带大家一起长知识。请关注百家号“yxdbl老师说数学”，为你呈上更丰盛的数学大餐，谢谢！
相关搜索三角形边长公式
等腰直角三角形
三角形周长公式
三角形的面积公式
等腰三角形
三角形