当一个矩阵 乘以一个向量 时，它将 变换到另一个向量 。进来的是 ，出去的是 。一个变换 就像一个函数一样，进来一个数字 ，得到 。但更高的目标是一次考虑所有的 ，我们是将整个空间 进行变换当我们用 乘以每一个向量 时。
一个变换 ，为空间 中的每一个向量 分配一个输出 。这个变换是线性的，如果它满足：
我们可以将这两个条件结合成一个，
矩阵相乘满足线性变化，因为 始终成立。
线性变换满足线到线，三角形到三角形，看下图。
在一条线上的三个点经过变换后仍然在一条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输入是一个三角形变换后输出还是一个三角形。这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有自己的语言，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。但是这些思想可以被保留，比如列空间包含所有的线性组合 ，零空间包含所有使得 的输入。将它们转化为值域(range)和核(kernel)：
的值域 = 所有输出 的集合，对应于列空间。 的核 = 所有使得 的输入的集合，对应于零空间。
投影任意一个三维向量到 平面，那么我们有 。值域就是这个平面，包含了所有的 ；核是 轴，它们被投影到了零点。这是一个线性的变换。
投影任意一个三维向量到 平面，那么我们有 。这不是一个线性的变换，为什么呢？它根本不能将零向量投影到零点，而这是线性变换必须满足的条件。
假设 是一个可逆的矩阵，那么核是零向量，值域 和输入空间 相同。有另一个线性变化是乘以矩阵 ，它将每一个 都带回到 ，有，
我们遇到了一个不可避免的问题，所有的线性变换都可以由一个矩阵产生吗？答案是肯定的，所有的变换比如旋转、投影……背后都藏着对应的一个矩阵。
最后我们来直观地感受一下线性变换，看一个矩阵是怎么旋转、拉伸或者以其它方式改变输入的房子的。
2. 线性变换的对应矩阵这部分的核心在于，如果我们知道了基向量 的变换 ，那么由于变换是线性的，我们就知道了任意输入向量 的变换 。
每个向量 都可以表示为基向量的唯一线性组合 ，又由于 是线性变换，那么必有 。
函数 的导数是 。这里，是立方多项式空间的一个基，输入空间 包含它们的所有组合，四个基的导数可以告诉我们空间 中的所有导数。
针对求导这个变换 ，我们求解 来找到它的核。解是 常数，因此 的零空间是一维的，包含所有的常函数。我们查看 的所有输出来找到它的值域，由于输入是三次多项式，三次多项式的导数是二次多项式，所以如果输出空间 是二次多项式空间的话， 那么 的值域是整个 ，维度为 3。核的维度+值域的维度=输入空间的维度。
导数将立方空间 变换到平方空间 ，对应的矩阵是 大小的。
为什么 是正确的矩阵，我们可以看到乘以矩阵 和变换 是一致的， 的导数是 。
然后我们来看积分变换 ，对应的矩阵是 大小的， 的导数是 。
长方形的矩阵 没有双边逆矩阵，但它有单边逆，积分是导数的单边逆。
如果你对一个函数积分后再求导，那么你又回到了起始函数，所以 。但是，如果你先求导再积分，常数项就会丢失，，这也就是为什么 的第一列为 0。
现在我们来构建任意线性变换的矩阵。假设变换 将 维空间 变换到 维空间 ， 是 的一组基向量， 是 的一组基向量。那么矩阵 是 大小的，要找到它的第一列，我们应用 到第一个基向量 ， 位于 空间并有，
这些数字就是 的第一列元素，同理我们可以得到矩阵的所有元素。
所有的输入向量都可以表示为 中基向量的线性组合，变换后的输出则是 中基向量的线性组合。矩阵 告诉了我们变换 做了什么，任何从 到 的变换都可以转换为一个矩阵，这个矩阵则取决于基向量的选择。
两个变换 和 分别用矩阵 和 表示。当我们应用 变换到 变换的输出，我们得到了变换的组合 ；当我们在 之后应用 ，我们得到了矩阵相乘 。矩阵相乘给出了变换 的正确矩阵 。
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