文章目录 回归定义最常用回归方法一、线性回归(Linear Regression)二、逻辑回归(Logistic Regression)三、多项式回归(Polynomial Regression)四、逐步回归(Stepwise Regression)五、岭回归(Ridge Regression)六、套索回归(Lasso Regression)七、回归(ElasticNet) 如何正确选择回归模型?SPSS实操
回归定义
回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。线性回归使用最佳的拟合直线(也就是回归线)在因变量(Y)和一个或多个自变量(X)之间建立一种关系。
用一个方程式来表示它，即 Y=a+b*X + e，其中a表示截距，b 表示直线的斜率，e 是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量(s)来预测目标变量的值。
使用最魁梧的小丸子乘法得到一个最佳的拟合线，对于观测数据，它通过最小化每个数据点到线的垂直偏差平方和来计算最佳拟合线。因为在相加时，偏差先平方，所以正值和负值没有抵消。
可以使用R-square指标来评估模型性能。
自变量与因变量之间必须有线性关系。
多元回归存在多重共线性，自相关性和异方差性。
线性回归对异常值非常敏感。它会严重影响回归线，最终影响预测值。
多重共线性会增加系数估计值的方差，使得在模型轻微变化下，估计非常敏感。结果就是系数估计值不稳定，在多个自变量的情况下，我们可以使用向前选择法，向后剔除法和逐步筛选法来选择最重要的自变量。 二、逻辑回归(Logistic Regression)
逻辑回归是用来计算「事件=Success」和「事件=Failure」的概率。当因变量的类型属于二元(1 / 0，真/假，是/否)变量时，我们就应该使用逻辑回归。这里，Y的值从0到1，它可以用下方程表示。
odds= p/ (1-p) = probability of event occurrence / probability of not event occurrence
ln(odds) = ln(p/(1-p))
logit§ = ln(p/(1-p)) = b0+b1X1+b2X2+b3X3…+bkXk
上述式子中，p表述具有某个特征的概率。你应该会问这样一个问题：我们为什么要在公式中使用对数log呢?
因为在这里我们使用的是的二项分布(因变量)，我们需要选择一个对于这个分布最佳的连结函数。它就是Logit函数。在上述方程中，通过观测样本的极大似然估计值来选择参数，而不是最小化平方和误差(如在普通回归使用的)。
它广泛的用于分类问题。
逻辑回归不要求自变量和因变量是线性关系。它可以处理各种类型的关系，因为它对预测的相对风险指数OR使用了一个非线性的log转换。
为了避免过拟合和欠拟合，我们应该包括所有重要的变量。有一个很好的方法来确保这种情况，就是使用逐步筛选方法来估计逻辑回归。它需要大的样本量，因为在样本数量较少的情况下，极大似然估计的效果比普通的最魁梧的小丸子乘法差。
自变量不应该相互关联的，即不具有多重共线性。然而，在分析和建模中，我们可以选择包含分类变量相互作用的影响。
如果因变量的值是定序变量，则称它为序逻辑回归;如果因变量是多类的话，则称它为多元逻辑回归。 三、多项式回归(Polynomial Regression)
对于一个回归方程，如果自变量的指数大于 1，那么它就是多项式回归方程。如下方程所示：y=a+b*x^2
在这种回归技术中，最佳拟合线不是直线。而是一个用于拟合数据点的曲线。
虽然会有一个诱导可以拟合一个高次多项式并得到较低的错误，但这可能会导致过拟合。你需要经常画出关系图来查看拟合情况，并且专注于保证拟合合理，既没有过拟合又没有欠拟合。
下面是一个图例，可以帮助理解：
明显地向两端寻找曲线点，看看这些形状和趋势是否有意义。更高次的多项式最后可能产生怪异的推断结果。 四、逐步回归(Stepwise Regression)
在处理多个自变量时，我们可以使用这种形式的回归。在这种技术中，自变量的选择是在一个自动的过程中完成的，其中包括非人为操作。
这一壮举是通过观察统计的值，如 R-square，t-stats 和 AIC 指标，来识别重要的变量。逐步回归通过同时添加/删除基于指定标准的协变量来拟合模型。
标准逐步回归法做两件事情。即增加和删除每个步骤所需的预测。
向前选择法从模型中最显著的预测开始，然后为每一步添加变量。
向后剔除法与模型的所有预测同时开始，然后在每一步消除最小显着性的变量。
这种建模技术的目的是使用最少的预测变量数来最大化预测能力。这也是处理高维数据集的方法之一。 五、岭回归(Ridge Regression)
岭回归分析是一种用于存在多重共线性(自变量高度相关)数据的技术。在多重共线性情况下，尽管最魁梧的小丸子乘法(OLS)对每个变量很公平，但它们的差异很大，使得观测值偏移并远离真实值。岭回归通过给回归估计上增加一个偏差度，来降低标准误差。
上面，我们看到了线性回归方程。还记得吗?它可以表示为：y=a+ bx
这个方程也有一个误差项。完整的方程是：
y=a+bx+e (error term), [error term is the value needed to correct for a prediction error between the observed and predicted value]
=> y=a+y= a+ b1x1+ b2x2+…+e, for multiple independent variables.
在一个线性方程中，预测误差可以分解为2个子分量。一个是偏差，一个是方差。预测错误可能会由这两个分量或者这两个中的任何一个造成。在这里，我们将讨论由方差所造成的有关误差。
岭回归通过收缩参数 λ(lambda)解决多重共线性问题。看下面的公式：
在这个公式中，有两个组成部分。第一个是最魁梧的小丸子乘项，另一个是 β2(β-平方)的 λ 倍，其中 β 是相关系数。为了收缩参数把它添加到最魁梧的小丸子乘项中以得到一个非常低的方差。
除常数项以外，这种回归的假设与最魁梧的小丸子乘回归类似;它收缩了相关系数的值，但没有达到零，这表明它没有特征选择功能，这是一个正则化方法，并且使用的是L2正则化。 六、套索回归(Lasso Regression)
它类似于岭回归。Lasso (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)也会惩罚回归系数的绝对值大小。此外，它能够减少变化程度并提高线性回归模型的精度。看看下面的公式：
Lasso 回归与 Ridge 回归有一点不同，它使用的惩罚函数是绝对值，而不是平方。这导致惩罚(或等于约束估计的绝对值之和)值使一些参数估计结果等于零。使用惩罚值越大，进一步估计会使得缩小值趋近于零。这将导致我们要从给定的n个变量中选择变量。
除常数项以外，这种回归的假设与最魁梧的小丸子乘回归类似;
它收缩系数接近零(等于零)，确实有助于特征选择;
这是一个正则化方法，使用的是L1正则化;
如果预测的一组变量是高度相关的，Lasso 会选出其中一个变量并且将其它的收缩为零。 七、回归(ElasticNet)
ElasticNet 是 Lasso 和 Ridge 回归技术的混合体。它使用 L1 来训练并且 L2 优先作为正则化矩阵。当有多个相关的特征时，ElasticNet 是很有用的。Lasso 会随机挑选他们其中的一个，而 ElasticNet 则会选择两个。
在高度相关变量的情况下，它会产生群体效应;选择变量的数目没有限制，它可以承受双重收缩。
除了这 7 个最常用的回归技术，你也可以看看其他模型，如 Bayesian、Ecological 和 Robust 回归。
在多类回归模型中，基于自变量和因变量的类型，数据的维数以及数据的其它基本特征的情况下，选择最合适的技术非常重要。以下是你要选择正确的回归模型的关键因素：
1.数据探索是构建预测模型的必然组成部分。在选择合适的模型时，比如识别变量的关系和影响时，它应该首选的一步。
2.比较适合于不同模型的优点，我们可以分析不同的指标参数，如统计意义的参数，R-square，Adjusted R-square，AIC，BIC 以及误差项，另一个是 Mallows’ Cp 准则。这个主要是通过将模型与所有可能的子模型进行对比(或谨慎选择他们)，检查在你的模型中可能出现的偏差。
3.交叉验证是评估预测模型最好额方法。在这里，将你的数据集分成两份(一份做训练和一份做验证)。使用观测值和预测值之间的一个简单均方差来衡量你的预测精度。
4.如果你的数据集是多个混合变量，那么你就不应该选择自动模型选择方法，因为你应该不想在同一时间把所有变量放在同一个模型中。
5.它也将取决于你的目的。可能会出现这样的情况，一个不太强大的模型与具有高度统计学意义的模型相比，更易于实现。
6.回归正则化方法(Lasso，Ridge和ElasticNet)在高维和数据集变量之间多重共线性情况下运行良好。
新手可以按照这个逻辑选择:如果结果是连续的，就使用线性回归。如果是二元的，就使用逻辑回归!
第一步：导入数据
路径：【文件】–【打开】–【数据】–【更改文件类型，找到你的数据】–【打开】–【然后会蹦出下图左中的筛选框，基本使用默认值就行，点确定】
第二步：数据分析
【分析】–【回归】–【线性】–【将因变量与自变量添加到对应的地方】–【其他都使用默认值】–【确定】
第三步：结果分析
第一项输出结果：输入／移去的变量
第二项输出结果：模型汇总
1.R表示拟合优度（goodness of fit），用来衡量模型的拟合程度，越接近 1 越好；
2.R方表示决定系数，用于反映模型能够解释的方差占因变量方差的百分比，越接近 1 越好；
3.调整R方是考虑自变量之间的相互影响之后，对决定系数R方的校正，比R方更加严谨，越接近 1 越好；
4.标准估计的误差是误差项 ε 的方差 σ2的一个估计值，越小越好；
一般认为：
小效应：R （0.1~0.3），对应 R方（0.01~0.09）;
中等效应：R （0.3~0.5），对应 R方（0.09~0.25）;
大效应：R （0.5~1），对应 R方（0.25~1）;
该例属中等效应，偏斜错误数值稍稍有点高。
第三项输出结果：变异数分析
Anova表示方差分析结果，主要看 F 和 显著性值，为方差分析的结果，F检验的重点在 显著性值，具体大小不重要，其 F 值对应的显著性值小于 0.05 就可以认为回归方程是有用的。
显著性值为0小于0.05，该方程可用。
第四项输出结果：系数
系数表列出了自变量的显著性检验结果，
综上所有的输出结果，说明 AQI、Precipitation与Longitude 的拟合效果还挺理想的。
SPSS 给出的回归方程： Y = -15.6 -0.034 * Precipitation + 1.12 * Longitude