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a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(e68a84e8a2ad62616964757a686964616f31333365643661a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)
公式证明
⒈迭代法：
我们知道：
0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
取公式：(X+1)^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1…………⑵
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1…………⑶
…………
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………(n)
于是⑴+⑵+⑶+……+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N
所以：
把以上这已经证得的三个公式代入
4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
2. 因式分解思想证明如下：
a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b
=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)