非齐次线性方程通解求法------常数变易法
高阶线性微分方程 小结、思考题 降阶法与常数变易法 线性微分方程的解的结构 概念的引入 解 受力分析 一、概念的引入 物体自由振动的微分方程 强迫振动的方程 串联电路的振荡方程 返回 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 问题 线性无关 线性相关 定义 例如 特别地: 例如 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 解的叠加原理 代入(1)式, 得 则有 三、降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 解得 齐次方程通解为 的一阶方程 刘维尔公式 降阶法 设对应齐次方程通解为 (3) 设非齐次方程通解为 设 (4) 2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法 (5) (4),(5)联立方程组 积分可得 非齐次方程通解为 解 对应齐方一特解为 由刘维尔公式 对应齐方通解为 例 设原方程的通解为 解得 原方程的通解为 主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； 降阶法与常数变易法； 补充内容 可观察出一个特解 小 结 小结 第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 定义 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 一、定 义 称为二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数齐次线性方程解法 其中p,q为常数 特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 有两个不相等的实根 1 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 有两个相等的实根 2 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 有一对共轭复根 3 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 定义 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 三、n阶常系数齐次线性方程解法