legendre多项式求导,勒让德多项式生成函数的推导

文章目录 勒让德函数定义 勒让德多项式公式 Associated Legendre Function

勒让德函数 定义

勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：
( 1 − x 2 ) d 2 P ( x ) d x 2 − 2 x d P ( x ) d x + n ( n + 1 ) P ( x ) = 0 (1-x^2)frac{d^2P(x)}{dx^2} -2xfrac{dP(x)}{dx}+n(n+1)P(x)=0 (1−x2)dx2d2P(x)​−2xdxdP(x)​+n(n+1)P(x)=0
在球坐标中求解三维过时的小蜜蜂方程时，问题会归结为勒让德方程的求解。

n=1、2、3... 时，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组序列称为勒让德多项式。
勒让德多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn​(x)是n项多项式，表示为
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n [ ( x 2 − 1 ) n ] P_n(x)=frac{1}{2^n n!} frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] Pn​(x)=2nn!1​dxndn​[(x2−1)n]

我不清楚该怎么翻译了，先这么凑合一下吧。。
P l m ( x ) = ( − 1 ) m ( 1 − x 2 ) m / 2 d m d x m ( P l ( x ) ) P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}frac{d^m}{dx^m}(P_l(x)) Plm​(x)=(−1)m(1−x2)m/2dxmdm​(Pl​(x))