Legendre多项式
分离变量法中使用的本征函数是三角函数系，本章使用的本征函数是勒让德多项式。
Sturn-Liouville本征值问题
分离变量法一章讨论的是 X''+λX=0 根据不同的边值条件得到不同的本征值与本征函数
使得解X不为0的λ称为本征值
求解关于u=u(x,t)的齐次微分方程utt = a^2*uxx时，使用了分离变量法u=X(x)*T(t)
勒让德方程
使得解y不为0的λ称为本征值
求解微分方程时，设，即直接设解的形式为幂级数
可看出以上两个问题都是直接规定了解的形式
2.1 勒让德多项式
将假设的幂级数形式的解带入勒让德方程，可得
将勒让德方程的两个特解 y1与y2称为勒让德函数
勒让德方程的通解 y=y1+y2
此时本征函数y1或y2称为勒让德多项式，记作Pn(x)
An称为f(x)的n次勒让德系数
3. 求解hmdmy方程
hmdmy方程的定解问题
将三维直角坐标系下的hmdmy方程转化为球坐标系下的hmdmy方程
由边界条件可知，u关于z轴对称，则∂V/∂φ=0
利用分离变量法 V=R(r)*Θ(θ)
此时由hmdmy方程的定解问题转化为两个定解问题
式1
式2
式2进一步转化为定解问题
P(x)=Θ(arccosx)
本征值为
本征函数为
将本征值带入式1
解为
所以最终该hmdmy方程的定解问题的解为：
由边界条件得
当r>a时
和前面的推导时用的位势方程相比就是边界条件具体为a^2 - (x^2+y^2)
φ(x,y,z) = a^2 - (x^2 + y^2) = φ(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）= a^2*(cosθ)^2 = f(θ)
查勒让德函数表得 f(θ) = A0*a^0*P0(cosθ) + A1*a^1*P1(cosθ) + A2*a^2*P2(cosθ)
f(θ) = A0 + A1*a*cosθ + A2*a^2*0.5*[3*(cosθ)^2-1] = (A0-0.5*A2*a^2) + A1*a*cosθ + A2*a^2*1.5*(cosθ)^2
对照 f(θ) = a^2*(cosθ)^2 得 A1 = 0 A2 = 2/3 A0 = a^2/3
也就是 A2 = 2/3 A0 = a^2/3 An = 0 (n!= 0, 2)
V(r,θ) = A0*P0(cosθ) + A2*r^2*P2(cosθ)
5. 例题2
由题意得出定解问题
由边界条件可写出V_out ( 因为边界条件cosθ的阶次只取到1，所以勒让德多项式我只取到P1(x) )
V_out = (C0*r^0+D0*r^(-1))*P0(cosθ) + (C1*r^1+D1*r^(-2))*P1(cosθ) = C0+D0*r^(-1) + (C1*r+D1*r^(-2))*cosθ
r→∞时 V_out = C0 + C1*r*cosθ
对照边界条件 r→∞时 V_out = -E0*r*cosθ
得 C0 = 0 C1 = -E0
即 C1 = -E0 Cn = 0 (n!=1)
由衔接条件1可得
A0 = D0*a^-1
A1 = C1+D1*a^-2
A2 = D2*a^-3
...
由衔接条件2可得
ε*0 = -D0*a^-2
ε*A1 = C1 - 2*D1*a^-3
ε*A2*2a = 2*C2 - 3*D2*a^-4
...
由以上条件可以得出 An Dn
然后可写出 V_in 与 V_out
(可能上面我哪里计算错了，但过程就是这么个过程)
例题1与例题2的区别在于，前者求解球面内的位势方程，后者计算球面内外的位势方程