设$a<b$是实数，并设$f:[a,b]tomathbf{R}$是黎曼可积的，设$F:[a,b]tomathbf{R}$是函数$$F(x)=int_{[a,x]}f$$那么$F$是连续的.
证明:
也就是证明，对于任意给定的正实数$varepsilon$,都存在相应的正实数$delta$,使得当$|x_1-x_2|<delta$时，便有
begin{equation}
label{eq:1}
|int_{[a,x_2]}f-int_{[a,x_1]}f|<varepsilon
end{equation}
其中$x_1,x_{2}in [a,b]$.
由于$f$在$[a,b]$上黎曼可积,因此$f$在$[a,b]$上是一个有界函数(为什么?)，则取足够小的$delta$，会导致
begin{equation}
label{eq:2}
|int_{[a,x_2]}f-int_{[a,x_1]}f|<varepsilon
end{equation}
因此$F$在$[a,b]$上连续.
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