一、一元：
1.极限：
1）数列极限：设${a_n}$为数列，a为定数.若对任给的正数$varepsilon$,总存在正整数N，使得当n>N时，有[{|a_{n}-a|}<{varepsilon},] 则称数列${a_{n}}$收敛于a,定数a 称为数列${a_n}$的极限，并记作$lim_{ntoinfty}{a_n}=a$, 或$a_nto a(atoinfty)$, 读作“当n趋于无穷大时，${a_n}$的极限等于a 或 $a_n $趋于a.
2）函数极限：
定义1($infty $定义)：设f为定义在$[a,infty)$上的函数，A为定数。若对任给的${varepsilon}>{0}$,存在正数$M({M}ge{a})$,使得当$x>M$时有[{|f(x)-A|}<{varepsilon}],则称函数$f$当$x$趋于$+infty$ 时以$A$为极限，记作[ lim_{xto + infty}=A 或 f(x)=A (xto + infty)]
定义2：设函数$f$在点$x_0$的某个空心领域$mathring{U}(x_0;delta{'})$内有定义,$A$为定数.若对任给的$varepsilon>0$,存在正数$delta$($delta<delta{'}),$使得当$0<|x-x_0|<delta$时有[ {|f(x)-A|}<{varepsilon},] 则称函数$f$当$x$趋于$x_0$时以$A$为极限，记作[lim_{xto x_0}f(x)=A 或 f(x)to A(xto x_0).]
归结原则（海涅定理）：[lim_{xto x_0}{f(x)}=A Longleftrightarrow ]
对任何$x_nto x_0 (ntoinfty)$有[lim_{ntoinfty}{f(x_n)}=A.]
2.连续：设函数$f$在某$U(x_0)$上有定义。若[lim_{xto x_0}{f(x)}=f(x_0),] 则称f在点$x_0$连续.
也等价于 [lim_{Delta xtoinfty}Delta y=0.]
也可由$“varepsilon-delta” $语言叙述，
即对任给的$varepsilon>0$,存在$delta>0$,使得当$|x-x_0|<delta$时有${|f(x)-f(x_0)|}<{varepsilon}$,称函数$f$在点$x_0$连续.
注：由“$f$在点$x_0$连续”意味着极限运算与对应法则的可交换性 即：[lim_{xto x_0}f(x)=f(lim_{xto x_0}{x})]
3.导数：设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若极限 [lim_{xto x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}]存在，则称函数$f$在点$x_0$处可导，并称该极限为函数$f$在点$x_0$处的导数，记作 $f'(x_0).$
4.微分：设函数$y=f(x)$定义在$x_{0}$某邻域$U(x_0)$上.当给$x_{0}$一个增量$Delta{x},x_{0}+Delta{x}in{U(x_{0})}$时，相应的得到函数的增量为
[Delta{y}=f(x_{0}+Delta{x}+)-f(x_0)]
如果存在常数$A$，使得$Delta {y}$能表示成[ Delta{y}=ADelta{x}+o(Delta{x})，]则称函数$f$在点$x_{0}$可微，并称$ADelta{x}$为$f$在点$x_{0}$处的微分，记作$dy|_{x=x_{0}}=ADelta{x} $ 或 $df(x) |_{x=x_{0}}=ADelta{x}$
连续(极限存在且等于函数值） $Longleftarrow$ 可导 (定义式极限存在)$Longleftrightarrow$可微
二、多元函数（以二元为例）
1.极限：
定义1：设$f$为定义在${D}subset{R^{2}}$上的二元函数，$P_{0}$为$D$的一个聚点，$A$是一个确定的实数.若对任给整数$varepsilon$,总存在某整数$delta$,使得当${P}in{{mathring{U}(P_0;delta)}cap{D}}$时，都有[{|f(P)-A|}<{varepsilon}],则称$f$在$D$上当$Pto{P_0}$时以$A$为极限，记作：[ lim_{{P}to{P_0}\Pin{D}}{f(P)}=A.]
二维时 坐标表示为 [lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}{f(x,y)}=A.]
定义2：设D为二元函数f的定义域，$P_0(x_0,y_0)$是D的一个聚点。若对任给的正数M，总存在点$P_0$的一个$delta $邻域，使得当$P(x,y)in{{mathring{U}(P_0;delta)}cap{D}}$时，都有$f(P)>M$,则称$f$在$D$上当$Pto{P_0}$时，存在非正常极限$+infty$,记作[lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=+infty.]
或 [lim_{Pto{P_0}}f(P)=+infty.]
上述极限讨论为以任何方式趋近于特定点，称为重极限.
累次极限：
定义:设$f(x,y),(x,y)in{D},D$在$x$轴，$y$轴上的投影分别为$X、Y$,即[X={x|(x,y)in{D}}, Y={y|(x,y)in{D}},]$x_0,y_0$分别是$X，Y$的聚点，若对每一个$yin{Y}，$存在极限[lim_{xto{x_0}}f(x,y),]它一般与$y$有关，故记作[ varphi(y)=lim_{xto{x_0}}f(x,y),]
如果进一步还存在极限[L=lim_{yto{y_0}}varphi(y),]
则称此极限L为$f(x,y)$先对$x(to{x_0}),$后对$y(to{y_0})$的累次极限，记作[L=lim_{yto{y_0}}lim_{xto{x_0}}f(x,y).]
类似可定义[K=lim_{xto{x_0}}lim_{yto{y_0}}f(x,y).]
重极限与累次极限的关系：
某点$P_0(x_0,y_0)$存在重极限与累次极限(之一即可),则它们必相等;
$Longrightarrow $
1.累次极限、重极限都存在则三者必相等
2.两个累次极限存在但不相等则重极限必不存在.
例1: $f(x,y)=frac{xy}{x^2+y^2}.$
例2: $f(x,y)=frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}.$
例3: $f(x,y)=xsinfrac{1}{y}+ysinfrac{1}{x}.$
2.连续：
定义：设$f$为定义在点集$Dsubset{R^2}$上的二元函数，$P_0in{D}$($P_0$为聚点或孤立点)对于任给的正数$varepsilon$,总存在相应正数$delta $，只要$Pin{U(P_0;delta)cap{D}}，$就有[|f(P)-f(P_0)|<varepsilon,]
则称$f$关于集合$D$在点$P_0$连续.
增量形式:[lim_{(Delta{x},Delta{y})to(0,0)\(x,y)in{D}}Delta{z}=0.] $Longrightarrow$
$f$在点$P_0$连续.
3.可微：定义：设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$上有定义，对于$U(P_0)$中的点$P(x,y)=(x_0+Delta{x},y_0+Delta{y})$,若函数f在点$P_{0}$处的全增量Delta{z} 可表示为
[begin{aligned}Delta{z}&=f(x_0+Delta{x},y_0+Delta{y})-f(x_0,y_0)\&=ADelta{x}+BDelta{y}+o(rho)\&=ADelta{x}+BDelta{y}+alphaDelta{x}+betaDelta{y}\lim_{(Delta{x},Delta{y})to(0,0)}alpha=lim_{(Delta{x},Delta{y})to(0,0)}beta=0.end{aligned}]
其中A，B是仅与点$P_0$有关的常数，$rho=sqrt{Delta{x}^2+Delta{y}^2}$,$o(rho)$是较$rho$高阶的无穷小量,则称函数f在点$P_0$可微.并称关于$Delta{x},Delta{y}$的线性函数$ADelta{x}+BDelta{y}$为函数$f$在点$P_0$的全微分，记作$$dz|_{P_0}=df(x_0,y_0)=ADelta{x}+BDelta{y}$$
4.偏导数：设函数$z=f(x,y),(x,y)in{D}.$若$(x_0,y_0)in{D}$,且$f(x,y_0)$在$x_0$的某邻域内有定义，则当极限
[lim_{Delta{x}to{0}}frac{Delta{_x}f(x_0,y_0)}{Delta{x}}=lim_{Delta{x}to{0}}frac{f(x_0+Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{Delta{x}}]
存在时，称这个极限为函数$f$在点$(x_0,y_0)$关于$x$的偏导数，
记作 $f_{x}(x_0,y_0)$或$z_{x}(x_0,y_0),frac{partial f}{partial x}|_(x_0,y_0),frac{partial z}{partial x}_(x_0,y_0).$
偏导数连续$Longrightarrow$可微$Longleftrightarrow$偏导数存在
5.方向导数：
定义：设三元函数$f$在点$P_{0}(x_0,y_0,z_0)$的某邻域$U(P_0)subset{R^3}$有定义，$l$为从点$P_{0}$出发的射线，$P(x,y,z)$为$l$上且包含于$U(P_0)$内的任一点，以$rho$表示$P$与$P_0$两点间的距离.若极限[lim_{rhoto{0^+}}frac{f(P)-f(P_0)}{rho}=lim_{rhoto{0^+}}frac{Delta_{l}f}{rho}]存在，则称此极限为函数$f $在点$P_0$沿方向$l$的方向导数，记作[frac{partial f}{partial l}|_{P_0}f_{l}(P_0)或f_{l}(x_0,y_0,z_0).]
若$f$在$P_0$可微，则在$P_0$沿任一方向$l$的方向导数都存在，且[f_{l}(P_0)=f_{x}(P_0)cos{alpha}+f_{y}(P_0)cos{beta}+f_{z}(P_0)cos{gamma},]其中$cosalpha,cosbeta,cosgamma $为方向$l$的方向余弦.
引入 梯度(gradient)：$grad=(f_{x}(P_0),f_{y}(P_0),f_{z}(P_0)).$
又$l$可单位化为$l_0=(cosalpha,cosbeta,cosgamma) $
进而 $f_{l}(P_0)=gradf(P_0)cdot{l_0}=|gradf(P_0)|costheta$
6.混合偏导数连续必相等.(构造函数+中值定理）
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