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一般来说，梯度可以定义为一个函数的全部偏导数构成的向量(这一点与偏导数与方向导数不同，两者都为标量)。一般将函数f 的梯度记为∇f，即：
方向导数：给一个方向，出一个实数(函数/标量场沿该方向的变化率)。
梯度：给一个函数/标量场，出一个矢量场(方向为每点方向导数值最大的方向，大小为其变化率的矢量组成的矢量场)。
首先理解“梯度”和“方向导数”要先理解“导数”和“偏导数”。导数其实就是描述一个东西的变化率（变化程度快慢）。如同加速度就是描述速度变化快慢一样。偏导数，就是某一个有多种影响因素的东西，某一个因素对它的影响。就像山一样，延x,y,z方向上都有起伏（可能这样描述并不恰当，但可以这样理解）。
“梯度”，就是函数变化率最大的方向。以山为例，就是坡度最陡的方向，而梯度值就描述了这个坡到底有多陡。那么如何求这个方向呢？于是我们就先求出每个方向上的坡度变化率（偏导数），每个方向上坡度变化率组成的向量自然就是变化率最大的方向，就是我们说的梯度。
“方向导数”，顾名思义就是函数在某一个方向上的导数。就是函数在某个方向的变化率。我们知道了梯度，再点乘某个方向的单位向量，自然就是这个方向上的变化率。