文章目录 导数梯度微分次导数次微分次梯度次微分
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参考文献：
https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51896348
https://blog.csdn.net/qq_32742009/article/details/81704139
次导数、次微分和次梯度属于凸优化中的概念。在对三者进行阐述之前，先回顾下导数、微分、和梯度的概念。
导数
梯度在一元函数中的特例。
梯度是一个向量，梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。计算时候，对每一维的方向求偏导。
微分是一个增量
次导数一元函数中的称呼
导数的泛化意义，如果函数f(x)在某点不可导，那么在该点函数f(x)就不存在导数，但在该点会存在次导数。
次导数，即通过该不可导点(x0,f(x0))的一条直线的斜率，该直线要在函数图像之下或者和函数图像重合，不能超过函数图像或与函数图像相交。即可以用下图来表示：
一元函数中的称呼
凸函数 f f f: I → R I→R I→R在点 x 0 x_0 x0的次导数，是实数c使得：
f ( x ) − f ( x 0 ) ≥ c ( x − x 0 ) f(x) - f(x_0) geq c(x - x_0) f(x)−f(x0)≥c(x−x0)
对于所有 I I I内的 x x x。我们可以证明，在点 x 0 x_0 x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b]，其中a和b是单侧极限
a = lim x → x 0 − f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 a = lim_{ x rightarrow x_0^-} frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} a=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)
b = lim x → x 0 + f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 b = lim_{ x rightarrow x_0^+} frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} b=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)
它们一定存在，且满足a ≤ b。
所有次导数的集合[a,b][a,b]称为函数ff在x0x0的次微分。
例如：考虑凸函数f(x)=|x|f(x)=|x|。在原点的次微分是区间[−1, 1]。x0<0x0<0时，次微分是单元素集合{-1}，而x0>0x0>0，则是单元素集合{1}。
次导数在多元函数中的称呼
次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果 f : U → R f:U→ R f:U→R是一个实变量凸函数，定义在欧几里得空间 R n R^n Rn内的凸集，则该空间内的向量 v v v称为函数在点 x 0 x_0 x0的次梯度，如果对于所有 U U U内的 x x x，都有：
f ( x ) − f ( x 0 ) ≥ v ⋅ ( x − x 0 ) f(x)−f(x_0)≥v⋅(x−x_0) f(x)−f(x0)≥v⋅(x−x0)
需要说明的是上面的概念是对一元函数的而言的，当然次导数和次微分也可以推广到多元函数。
结合上面梯度的定义来看，次导数是次梯度的一种特殊情况，即函数f只是一元函数。在忽略变量个数时，可以认为次导数和次梯度是一个概念。
一维次梯度称为次导数，通过求函数在某点的每一分量的次导数（对应可导中求对每个变量求偏导）可以求出函数在该点的次梯度。在一元函数中，某点所有次导数的集合被称为次微分，而在多元函数中，所有次梯度的集合被称为次微分。函数f在某不可微点的次梯度不唯一，特别的，当f可微的时候，次梯度和梯度等价。
次微分在多元函数中的称呼
所有次梯度的集合称为次微分，记为 ∂ f ( x 0 ) ∂f(x0) ∂f(x0)。次微分总是非空的凸紧集。