数值积分可以用来求定积分的近似值。对于很多函数来说，我们是可以使用初等函数来表示出其积分的，对于这种函数，只需要求出不定积分然后代入值就能得到定积分了。
可是除此之外还有许多难求的函数和没法使用初等函数表示的函数。当我们想要求出它们的定积分的时候，需要使用数值积分来求解。
在ACM中一些题目需要使用数值积分来求解，以下列出一些求数值积分的方法，由简单到难，而对ACMer来说最重要的是复合Simpson，其精度较高，且可调精度，是乱搞积分几何的利器。
我从这学的：网易公开课 MIT 数值积分
学习的契机是想要A掉这题：ZOJ 3898 我的题解
法一·黎曼和黎曼和是用将区间等长分为 n 段，然后用矩形去逼近函数，每段的长为Δx。
可以选择每段左侧的函数值作为矩形的高，也可以选择每段右侧的函数值作为矩形的高。
若设 n+1 个函数值从左至右为 x0,x1⋯xn ，可得如下公式：
法二·梯形法
黎曼和虽然简单，但是精度堪忧，没法很好地模拟逼近函数，接下来介绍第二种方法。
可以看出用矩形逼近的时候有很多空缺，使用梯形去逼近，就能大大提高精度了，看上去很像了。
沿用之前的 xi ，由梯形公式我们可以得到如下公式：
可以看出梯形法求出的就是dydwl和的平均值。
公式中第一个和最后一个需要除以 2 其他都能合出来1个。
法三·Simpson公式前两种都比较简单，但是精度比较差，第三种方法是用抛物线去逼近。
其实我并不知道是怎么计算的，是从公开课上学来的。
使用 Simpson 公式首先需要 n 为偶数。
将整个区间分为n2段，每段的底为 2Δx ，高比较难搞，但是是有公式的： Simpson height=f(xl)+4f(xm)+f(xr)6
于是有公式：
法四·复合Simpson
Simpson 公式的精度其实已经相当不错了，可是相对于ACM中所需的精度仍然有差距。
为了提高精度，我们需要多次重复利用 Simpson 公式。
我们先定义被积函数为 f(x) ，定义 Simpson(l,r)=(r−l)f(l)+4f(l+r2)+f(r)6
这也就是常规的 Simpson 公式，再定义函数 RSimpson 为复合 Simpson 。
当我们要求 RSimpson(l,r) ，先令 m=l+r2
当 Simpson(l,r)≈Simpson(l,m)+Simpson(m,r) 时我们就认为精度够了返回其中一个。
当不满足的时候我们就再分段去求 RSimpson(l,m)+RSimpson(m,r)
这样得到的精度就比较高了，而且通过定义 ≈ 的范围可以调整精度。
总结公式如下：
复合Simpson的实现 inline double getAppr(double fl, double fm, double fr, double l, double r) { return (fl+4*fm+fr)*(r-l)/6.0;}double Simpson(double l, double r, double fl, double fr) { double m = (l+r)/2, lm = (l+m)/2, rm = (r+m)/2; double fm = f(m), flm = f(lm), frm = f(rm); double vlr = getAppr(fl, fm, fr, l, r); double vlm = getAppr(fl, flm, fm, l, m); double vrm = getAppr(fm, frm, fr, m, r); return fabs(vlr-vlm-vrm) < EPS ? vlr : Simpson(l, m, fl, fm)+Simpson(m, r, fm, fr);} 复合Simpson的实现2(Natureal的代码) inline double getAppr(double l,double r){ return (f(l) + 4.0*f((l+r)/2) + f(r)) * (r - l) / 6.0;}double Simpson(double l,double r){ double sum = getAppr(l,r); double mid = (l+r)/2; double suml = getAppr(l,mid); double sumr = getAppr(mid,r); return (fabs(sum - suml - sumr) < EPS) ? sum : Simpson(l, mid) + Simpson(mid, r);}