几何分布的概率质量函数：
p(k)=p(1−p)k−1,for k = 1,2,3,...期望推导： E(k)=∑k=1nkp(1−p)k−1=p∑k=1nk(1−p)k−1=p(1+2q+3q2+...+nqn−1)令q=(1-p)
使用倍差法/错位相减法求和：
令Sk=1+2q+3q2+...+nqn−1(1) 则qSk=q+2q2+3q3+...(n−1)qn−1+nqn(2) (1)−(2):(1−q)Sk=1+q+q2+q3+...+qn−1−nqn=1−qn1−q−nqn 因此，Sk=1−qn(1−q)2−nqn1−q 考虑 n→+∞ 的情况 ∵0<q<1 ∴limn→+∞qn=0⟹limn→+∞Sk=1(1−q)2 因此，E(k)=p(1−q)2=1p 方差推导： E(k2)=∑k=1nk2p(1−p)k−1=p∑k=1nk2(1−p)k−1=p(1+22q+32q2+...+n2qn−1) 只要对括号内求和即可得到结果： 令T=1+22q+32q2+...+n2qn−1=(q+2q2+3q3+...+nqn)′由E(k)可知，括号内等于qSk 对 qSk 进行求导即可得到 T(n→+∞) : limn→+∞qSk=q(1−q)2 [q(1−q)2]′=1−q2(1−q)4=1+q(1−q)3=T 因此，E(k2)=pT=1+q(1−q)2 最终得到方差为： Var(k)=E(k2)−E(k)2=1+q(1−q)2−1p2=qp2=1−pp2