一、二重积分的理解
二重积分的一般表示如下：
它最佳的理解方式是——平面薄片的质量，即平面薄片占据平面区域
, 在点
处的面密度为
，整个平面薄片的总质量就是将
累积遍整个平面区域
.
当然，二重积分也是一个“分割、近似、求和、取极限”的过程，将该过程压缩成一步到位，就是“二重积分”运算：
注1：
取所有
直径的最大值，该极限比一般极限要复杂的多(多了对任意分割)；
注2：经过该过程，二重积分已经是一个精确值(不均匀平面薄片的精确质量)了；
注3：既然是任意分割，在直角坐标系下，按水平竖直分割，则微元面积
:
所以，二重积分也写为：
二、计算二重积分的基本原理直角坐标下的二重积分
二重积分是
在区域
上累积而得，而且与累积路径无关(二重积分定义保证)，也就是说怎么累积遍下图中的小原点都是可以的：
那就选择一种规则的累积法：先竖着累积“小细带”，对每个
，把所有的
累积起来，记为
再把所有“小细带”横着累积起来，得到
于是，
当然换个方向考虑(先横着累积，再竖着累积)也是可以的，就得到：
综上，二重积分转化为累次积分，是将不方便直接计算的二重积分转化成方便计算的做两次定积分。
2. 极坐标下的二重积分
注意，影响上述计算的只有被积函数和积分区域的表达式。那么，若积分区域或被积函数在直角坐标系下，仍不方便计算呢？比如带
项。那就再转化为极坐标系下就方便计算了。
比如，这样一个区域：
用直角坐标
表示很困难，但换成极坐标则是非常简单的“矩形”：
所以，在极坐标系下，既然积分区域可以任意分割，那就按原点射线、圆环方向分割。此时，微元面积
怎么计算？
注意到，微元
很小，则圆弧边可近似看成直线，该面积可近似按“长×宽”来算：
其中，
就是那段弧长，这里虽然是
，但二重积分过程(分割、取极限)就能变成
.
因此，就有了二重积分化极坐标公式：
其中，
是
的极坐标表示。
注：实际上从直角坐标系到极坐标系的转化，是做了一种变换：
则
其中，该变换的雅可比行列式恰好等于
而已：
三、二重积分化累次积分的通用方法
根据前文原理：二重积分是在一块二维的积分区域上，对被积函数做累积；无论采用哪种二重积分化累次积分的方式，关键是要把积分区域用两个积分变量的范围“精确”的表示出来。
一旦表示出来，顺手就能写成累次积分，二重积分的计算就只剩下计算两次定积分。
两个积分变量的积分区域，一定可以用这两个变量的范围“精确”表示出来，谁在先谁在后都行，这样就必有两种表示法：以直角坐标为例，就是
• 先
后
• 先
后
这两种表示也保证了，二重积分必能按两种方式转化为累次积分。
这两种表示的规则也很统一和简单，找到两个变量的变化范围即可：
先看变量的范围是数值范围是： [最小值，最大值]；
后看变量的范围是： [小的一侧曲线，大的一侧曲线]；
鲜艳的星月一侧曲线不能统一写为一个表达式，则对“先看变量”分段处理。
这个规则同样适用于极坐标，当然极坐标下的变量的“大和小”需要专门学会区分。
极坐标下，积分区域也用直角坐标来画，从极坐标的角度来看即可。
角度
，从
度(
轴正向)逆时针到
，来看从小到大(用过原点的射线，角的终边衡量)；
极径
，代表的是点到原点的距离，所以是从原点(最小极径
)，到外侧圆环来看从小到大。具体操作在角度
的两条射线(终边)辅助下，从小的一侧曲线到大的一侧曲线，就是从内圈曲线，到外圈曲线。
以上原理非常简单，你只需要记住上述原则(已加粗)，会正确地区分积分变量的大和小。
四、例题演示
下面用两道例题，帮你学会该方法。为了清楚，我写了很啰嗦的解释，上手之后只写每步结果就很简洁了。
例1 计算
, 其中
为抛物线
与直线
所围成的区域。
解：(1) 先画出积分区域
(2) “精确”表示区域
方法一：先
后
“先看变量”
是数值范围：[最小值, 最大值],
是下边小上边大，最小值在
点
处取到，最大值在
点
处取到，故
看一下所确定的范围：
可见，从
轴方向来看，积分区域
落在这两条横线中间。
“后看变量”
范围是：[小的一侧曲线，大的一侧曲线]，
是左侧小右侧大，所以是从左侧曲线
到右侧曲线
左侧曲线
的表达式为：
右侧曲线
的表达式为：
于是，
注意：下方直线
，上方直线
, 左侧曲线
, 右侧曲线
, 恰好确定积分区域
, 即所谓的积分区域
“精确”表示。
因此，二重积分可化为如下的累次积分：
方法二：先
后
“先看变量”
是数值范围：[最小值, 最大值],
是左边小右边大，最小值在原点
处取到，最大值在
点
处取到，故
看一下所确定的范围：
可见，从
轴方向来看，积分区域
落在这两条竖线中间。
“后看变量”
范围是：[小的一侧曲线，大的一侧曲线]，
是下方小上方大，所以是从下方曲线
到上方曲线
。
显然，下方曲线
不能统一用一个表达式表示，所以必须对
分段，要以
点作为分界点，注意到
点坐标为
, 故
再给图形增加
辅助线，积分区域
也被分为
和
:
(i) 对
区域，
:
小的一侧曲线为
, 其表示为
大的一侧曲线为
, 其表示为
故
.
(ii) 对
区域，
:
小的一侧曲线为
, 其表示为
大的一侧曲线为
, 其表示为
故
.
因此，二重积分可化为如下累次积分：
(3) 计算(略)。
注：实际中不用特意区分，直接“先
后
”，若不好算(需要分段或求积分困难)，再“先
后
”即可。
例2 在极坐标下交换积分次序：
解：(1) 积分区域为“先
后
”表示：
(2) 在直角坐标系画出积分区域
先处理边界曲线：
再结合
的范围，得到积分区域
：
(3) 改用“先
后
”表示
最小值是
(原点)，最大值在点
处为
，故
.
添加
(原点)和
辅助线，并标记若干点：
要从小的一侧曲线(负角度一侧，是
), 到大的一侧曲线(是
).
显然，
不能统一用一个表达式
表示，所以，必须对
进行分段。要以
点对应的
值作为分界点，注意到
点坐标为
, 故
再给图形加上
辅助线，该辅助线也将积分区域
分为
和
：
(i) 对
区域，
：
小的一侧曲线为
, 其表示为：
大的一侧曲线为
, 其表示为：
故
.
(ii) 对
区域，
：
小的一侧曲线为
，其表示为：
大的一侧曲线为
，其表示为：
故
因此，原二重积分可化为如下累次积分：
参考文献：
《高等数学》，同济版
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