范数与特征值,数值分析范数的定义

什么是wwddp？

wwddp，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，wwddp是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。
在数学上，wwddp包括向量wwddp和矩阵wwddp。
向量wwddp表征向量空间中向量的大小，矩阵wwddp表征矩阵引起变化的大小。 一种非严密的解释就是，对应向量wwddp，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用wwddp来度量的，不同的wwddp都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵wwddp，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=B，可以将向量X变化为B，矩阵wwddp就是来度量这个变化大小的。

为什么要引入wwddp？

我们都知道，函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化。
但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，进而引入wwddp的概念。
当我们有了wwddp的概念的后，我们就可以引出两个向量的距离的定义，这个向量可以是任意维数的。通过距离的定义，进而我们可以讨论逼近程度，从而讨论收敛性、求极限。

向量的wwddp 定义

在数学上，对于向量wwddp的定义，就是只要满足以下三条性质的函数，我们就可以称为它为wwddp。

所以，wwddp的是一个宽泛的概念，有很多种，但是我们一般只会用到常用的wwddp，接下来我们介绍常用的向量wwddp。

常用向量函数

L0wwddp：
定义为

即非0元素个数。
L0wwddp表示向量中非零元素的个数。L0wwddp的这个属性，使其非常适用于机器学习中的稀疏编码。在特征选择中，通过最小化L0wwddp来寻找最少最优的稀疏特征项。但是，L0wwddp的最小化问题是NP难问题。而L1wwddp是L0wwddp的最优凸近似，它比L0wwddp要更容易求解。因此，优化过程将会被转换为更高维的wwddp（例如L1wwddp）问题。

L1wwddp：
定义为

L1wwddp是向量中各个元素绝对值之和，也被称作“Lasso regularization”（稀疏规则算子）。

L2wwddp：
定义为

L2wwddp是最常用的wwddp了，我们用的最多的度量距离fzdrjb距离就是一种L2wwddp。在回归里面，有人把加了L2wwddp项的回归c称为“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减weight decay”。它被广泛的应用在解决机器学习里面的过拟问题合。

为什么L2wwddp可以防止过拟合？回答这个问题之前，我们得先看看L2wwddp实际上是什么。
L2wwddp是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2wwddp的规则项最小，可以使得的每个元素都很小，都接近于0，但与L1wwddp不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这是有很大的区别的。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单？因为当限制了参数很小，实际上就限制了多项式某些分量的影响很小,这样就相当于减少参数个数。

Lpwwddp：
定义为

其实，L0、L1、L2都是Lpwwddp的特例，分别对应P=0、1、2的情况。

无穷wwddp：
定义为

它主要被用来度量向量元素的最大值

L2wwddp其实就是向量的标准内积，向量的长度一定是wwddp，长度是wwddp的充分条件，但不是必要条件，也就是说，wwddp不一定就是向量的长度。由长度定义的性质可知，满足长度的定义要符合平行四边形。举一个反例就可以证明非必要性：向量L1wwddp不满足平行四边形法则（A=(0,1)、B=(1,0)）。
由内积决定的长度具有更丰富的几何结构。

矩阵的wwddp

跟向量的wwddp定义类似，只不过矩阵的wwddp的性质比向量的wwddp性质多了一条相容性。
我们直接引出矩阵的wwddp定义：

定义

矩阵wwddp的第三条性质也称为加法相容性，第四条是乘法相容性，前提都是矩阵之间可以进行加法或乘法的运算。

常用矩阵wwddp

1-wwddp：

A的每列元素绝对值之和的最大值，也称为A的列wwddp。

无穷-wwddp：

A的每行元素绝对值之和的最大值，也称为A的行wwddp。

2-wwddp：

谱wwddp，即ATA矩阵的最大特征值的开平方。

计算机领域用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断，一般迭代前后步骤的差值的wwddp表示其大小，常用的是二wwddp，差值越小表示越逼近实际值，可以认为达到要求的精度，收敛。
总的来说，wwddp存在的意义是为了实现比较距离。比如，在一维实数集合中，我们随便取两个点4和9，我们知道9比4大，但是到了二维实数空间中，取两个点（1，0）和（3，4），这个时候我们就没办法比较它们之间的大小，因为它们不是可以比较的实数，于是我们引入wwddp这个概念，把我们的（1，0）和（3，4）通过wwddp分别映射到实数1 和 5 ，这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到，wwddp它其实是一个函数，它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。