由上篇博客的分析控制系统中"带宽"的理解，我们知道，只要系统的截止频率足够高，就会有足够多频率的分量通过，输出就能很好的跟随输入。然而，不幸的是，有很多系统，其截止频率没有足够高，那怎么办呢？举个例子：
对于惯性系统 G ( s ) = 1 T s + 1 = 1 5 s + 1 , T = 5 G(s)=frac{1}{Ts+1}=frac{1}{5s+1},T=5 G(s)=Ts+11=5s+11,T=5,
其阶跃响应和波德图如下：
可以看到，其截止频率为 0.2 r a d / s 0.2rad/s 0.2rad/s，高于该频率信号的幅值响应会急剧减小；假如输入信号频率为 2 r a d / s 2rad/s 2rad/s，输出幅值将衰减到输入信号的十分之一，如果想得到 2 r a d / s 2rad/s 2rad/s的信号输出，又不想输出信号幅值衰减，怎么办呢？——这就引入了负反馈系统！
首先我们将上述系统进行一个简单的闭环，观察其阶跃响应曲线：
可以看到，闭环后系统的截止频率变大了，时域的响应时间也变快了，系统的动态性能变好；但是，这引入了一个新问题，系统的稳态幅值不为1，利用终值定理可以很直观的看出这一点
lim t → + ∞ f ( t ) = lim s → 0 s 1 s 1 5 s + 2 = 0.5 lim_ {t to +infty} f(t)=lim_{s to 0} sfrac{1}{s}frac{1}{5s+2}=0.5 limt→+∞f(t)=lims→0ss15s+21=0.5
怎样保证系统的稳态幅值呢，一个办法是在闭环系统的前向通道上加入比例环节 K p K_p Kp,
至此，PID控制便登场了。
我们来看这个比例环节对系统的影响，加入比例后，系统的闭环传递函数变为：
G ( s ) = k T s + k + 1 G(s)=frac{k}{Ts+k+1} G(s)=Ts+k+1k
写成尾一形式
G ( s ) = k k + 1 1 T s k + 1 + 1 G(s)=frac{k}{k+1}frac{1}{frac{Ts}{k+1}+1} G(s)=k+1kk+1Ts+11
可以看到，随着 K p K_p Kp增大，系统的闭环增益 k k + 1 frac{k}{k+1} k+1k不断趋近于1，系统的稳态误差会越来越小，但不会变为0；
接下来看 K p K_p Kp的变化对系统性能的影响
K p = 2 K_p=2 Kp=2
K p = 10 K_p=10 Kp=10
K p = 100 K_p=100 Kp=100
很明显，比例系数 K p K_p Kp的增加对系统带来的影响有：
时域：上升时间减小，系统的响应速度更快，系统的稳态误差降低，有更好的动态和稳态性能；
频域：提高了系统在低频段的幅值响应(对应稳态误差)，增加了系统的带宽(对应响应速度)，使系统能更好地跟踪输入信号，但是，系统在高频段的幅值响应也增加了，这意味着系统抵抗高频噪声的能力变弱。