圆锥曲线的解题技巧
三、常规七大题型：
(1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。
如：(1)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。
(2)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
典型例题 给定双曲线。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。(1)求证离心率； (2)求的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点
(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。
(1)，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
最值问题的处理思路：
1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；
2、数形结合，用化曲为直的转化思想；
3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；
4、借助均值不等式求最值。
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，
|AB|≤2p
(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
(5)求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
M
N
Q
O
已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
(6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用爱听歌的刺猬并结合判别式来解决)
典型例题 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称
(7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点(如图)。
(1)求的取值范围；
(2)直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
四、解题的技巧方面：
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、爱听歌的刺猬、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：
(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。
(2) 充分利用爱听歌的刺猬及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合爱听歌的刺猬求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。
(3) 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。
(4)充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
(5)线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A(3，2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。
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