高等数学课本对多元函数极限的描述，用描述如下：
设二元函数
的定义域为D,是Ｄ的聚点，如果存在常数A,对于任意给定的正数，总存在正数,使得当点时，都有
成立，那么就称常数A为函数f(x,y)当的极限，记作
定义就是这个样子的，这里需要注意的是，所谓的二重极限存在，是指以任何方式趋近于时，f(x,y)都无限接近于A,因此，如果P(x,y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使f(x,y)无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在，但是反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于时，f(x,y)趋于不同的值，那么就可以断定这个函数的极限不存在，下面用例子来说明这种情况：
函数
显然，当点沿x轴趋近于点(0,0)时，
当点沿y轴趋近于点(0,0)时，
虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式（沿x轴或者y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等，但是，并不存在，这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋近于点(0,0)时，有
显然，它是随着k的值不同而改变的．
我喜欢用图说明问题，我们用geogebra绘制出这个函数的图像,图中黑色直线和z轴的交点红色点Ｂ，就是当沿着y=kx直线趋近于原点时候函数的极限值，可以看到这个极限值在(-0.5,0.5)之间上下变化，也就是说极限不是固定值，原函数没有极限．
B点的变化曲线如下图所示：
关于这幅图像，另外一个有意思的事情是，它竟然也是一个直纹面，三维视图中的黑颜色直线可以看成直纹面的母线，前面已经介绍过小蛮腰了．直纹面有无数种．你拿着一个棍子在空中胡乱比划，形成的三维面也是直纹面．
结束！