（1）已知函数 的定义域为D
（2）特定点 是D的内点，即是 且
（3）对于任何的 点(x,y), ,恒有
则 是极大值点。
类似地，
（1）已知函数 的定义域为D
（2）特定点 是D的内点，即是 且
（3）对于任何的 点(x,y), ,恒有
则 是极小值点。
按定义，进行极值分析 ，
一般从二元函数的几何图形着手进行分析 ，
例如
（1）函数 在点零零处有极小值 。因为对于（0，0）的任何邻域内异于（0，0）的点，函数值为正，而点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的抛物面的顶点。
（2）结论：
凡是关于x，y 的二次多项式，而z是一次的，都和平面内的抛物线有关，事实上，只要令y=kx (k为常数，取遍一切的实数） ，就可以得到空间中的一条抛物线 ，例如 函数 ，令 得到 . 因此，这实际旋转抛物面的一个变形的空间曲面 。在旋转抛物面的以过中心点（0，0，0），垂直于xoy面，截曲面，就得到不同的抛物线。
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例题：
函数 在点 的邻域内连续，且有
,判断点（0，0） 是否为极值点 。
解答：（1）先导出一个结论：
。
这是因为分母极限为零，即是无穷小，而分式的极限为1，
（a）当表达式 含有因子时，即是 ,应该有 那么 即是 是无穷小 。
（b）当表达式 不含有因子时，若分子的极限是一个非零的常数，那么原极限应该为无穷大，这就产生了矛盾，因此， ,即是 是无穷小量 。
综合上述两种情况 ，便有结论成立 。
（2）回到本题，有题设已知条件，函数f 是连续函数 ，且xy是多元初等函数，然后根据连续函数的定义知道，分子是连续函数 ，从而在点（0，0）极限存在，且就是点（0，0）的函数值。分母多元初等函数，其极限值为零 ，即是分母是无穷小量 ，结合（1）的 结论应该有 分子也是无穷小量。根据等价无穷小的充要条件可得
令 则
当 在点 附近取值的时候，当 充分小时 ， 完全确定了 函数 的符号，而函数 的符号 内，可正可负，且有 从而 点（0，0） 不是极值点。
2. 函数极值的判定：
（我们希望用多元函数的偏导数来判断函数的极值点）
定理1：
函数 ，在点 (且是内点)具有偏导数 ，且在 有极值，那么必有
.
这就是说，在特定点的各偏导数为零是函数极值的必要条件；这结论反推却并不能成立，
例如函数 ,点（0，0）是函数的驻点 ，即是个偏导数在该点为零，但是，（0，0）并不是极值点 。
定理2：（函数极值的充分条件）
设函数 在点 的领域内连续 且有一阶二阶连续的偏导数，且 是函数的驻点。
令
则可按下面的条件判断极值点：
（1）当 时，函数具有极值：
（a）当 ,函数具有极小值（口诀：A大则小）；
（b）当 ,函数具有极大值（口诀：A小则大）；
（2）当时 ，函数没有极值点。
（3）当时，函数可能有极值点，也可能没有极值点 ，还需另做讨论 。
利用定理求极限的一般步骤（三步法）：
第一步：解方程组
,求得一切实数解，即可求得一切的驻点 。
第二步：对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C，
第三步：定出 的符号，按定理2的结论判定 是不是极值点，是极大值点还是极小值点。
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例题:
求函数 的极值 。
解答：
解方程组 ,
得 .则函数有唯一的驻点 （2，-2）
求函数的二阶导数得 ，
在驻点（2，-2） 处有 且 故，函数在该点取得极大值，由于驻点唯一，所以该点也是最大值点 。
关于连续的含义的一点理解的补充：
如果函数在特定点连续，则表示在该点函数值不会发生跳跃变化 ，比如发生离散性质的剧烈增大，或者减小；或者变成 的无穷大。
函数在一个区域内都是连续的，即是表示在区域内的每一点都不会发生跳跃或者变成离散型的剧烈增大或者减小；或无穷大 。
根据连续的定义，如果函数在某一点连续，则函数在该点的周边，即是邻域内都有定义。这是由极限的含义保证的 。
3.条件极值形如：
要求函数 的极值，称为条件极值 ； 这个方程组，称为数学模型 。
条件极值的解法 ：
（1）化为无条件极值
例如，求三元函数 在满足限制条件 的极值 。
则可以从限制条件解出一个自变量，然后代入目标函数，即可以转化为二元函数的无条件极值。
（2）利用拉格朗日乘子法 。
4.拉格朗日乘子法对于数学模型
（1）引入辅助函数
称为拉格朗日函数；其中 称为拉格朗日乘子 。
（2）对拉格朗日函数 求 关于自变量x，y ， 的偏导数 ；令各个偏导数为零，解出x，y ， 就得到了可能的极值点 。
（3）根据实际情况判断极值。
5. 条件极值模型的提取：（1）明确因变量 ，和自变量
（2）写出数学表达式方程组 。