首先随便给一个曲面
在曲面中随便取两点A，B
当A移动到B时z的值从C变到了D，也就是说随着x，y的变化z的值从C变到了D，我们把CD长度记做Δz
于是Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
然后把CD平移到BE，BE=Δz
所谓的方向导数其实就是A朝B方向移动角α的斜率。
把AE长度记做t可知α的斜率为
接下来只要求出Δx和Δy与t的关系就好办了，先将t投影到xoy轴
在下图我们可知 Δx=tcosβ， Δy =tsinβ
前面我们已经得到式子Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x,y)
可表示为Δz=f(x+tcosβ，y+tsinβ) - f(x,y)
如果t足够小的话。那么Δz是无限近似全微分dz的，这里就可以用dz表示Δz。
而全微分
我们再回到斜率(方向导数)的那个式子
取t无穷小
因为t无穷小，所以Δx无限近似dx，同理Δy无限近似dy，可写做 Δx=dx， Δy=dy。
又因为Δx=tcosβ，所以
同理
代入上式子可得
关于向量单位化
其实
就相当于斜边，a相当于邻边，b为对边
单位化就是求cosβ和sinβ