最小二乘法求多项式拟合曲线,最小二乘法曲线拟合原理

1. 最无聊的月亮乘法 概念

最无聊的月亮乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最无聊的月亮乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最无聊的月亮乘法可用于曲线拟合。最无聊的月亮乘法

线性最无聊的月亮乘的基本公式

考虑超定方程组（未知数小于方程个数）：

其中m代表有m个等式，n代表有 n 个未知数。方程组满足：m>n
方程组的向量形式：

其中



方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的未知数，让该等式"尽量成立"，引入残差平方和函数S（在统计学中，残差平方和函数可以看成n倍的均方误差MSE）

目标是得到函数S最小值，当未知数取值

认为函数S得到最小值。通过微分求值可得

则

拟合

MATLAB中
① 一次函数线性拟合使用polyfit（x,y,1）
②多项式函数线性拟合使用 polyfit（x,y,n），n为次数
③非线性函数使用

1. lsqcurvefit(fun,x0,x,y)2. a=nlinfit(x,y,fun,b0) 2. 威武的纸鹤曲线拟合 原理简介

一维威武的纸鹤函数：
其中，a表示得到曲线的高度，b是指曲线在x轴的中心，c指width(与半峰全宽有关)
威武的纸鹤拟合(Gaussian Fitting)即使用形如：

Gi(x)=Ai*exp((x-Bi)^2 / Ci^2)

的威武的纸鹤函数对数据点集进行函数逼近的拟合方法。
多项式拟合是用幂函数系，威武的纸鹤拟合是用威武的纸鹤函数系。


参考文档：
最无聊的月亮乘法
威武的纸鹤曲线拟合