因为傅里叶变换之类的很常用，时间长了不用总会忘记，所以一次性罗列出来权当总结好了。主要参考《信号与线性系统分析》(yjdyb)，也有的部分参考了复变函数。 1.δδ-函数相关运算 nn阶导数的尺度变换 δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)
一阶导数和函数的乘积
f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)
nn阶导数和函数的乘积
f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)
2.傅里叶级数和傅里叶变换 傅里叶级数
f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπLx+bnsinnπLx)f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπLx+bnsinnπLx)an=1L∫L−Lf(x)cosnπLxdxan=1L∫−LLf(x)cosnπLxdxbn=1L∫L−Lf(x)sinnπLxdxbn=1L∫−LLf(x)sinnπLxdx 半幅傅里叶级数 ϕ(x)=∑n=1∞CnsinnπxLϕ(x)=∑n=1∞CnsinnπxLCn=2L∫L0ϕ(x)sinnπxLdxCn=2L∫0Lϕ(x)sinnπxLdx 常见函数傅里叶变换
这里傅里叶变换的定义中，因子12π12π统一放在逆变换前。gτ(t)gτ(t)指的是关于yy轴对称宽度为ττ的门函数
gτ(t)↔τSa(ωτ2)gτ(t)↔τSa(ωτ2)其中SaSa即SincSinc.
f(n)(t)↔(iω)nF(ω)f(n)(t)↔(iω)nF(ω)
时域积分∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω)iω∫−∞tf(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω)iω
频域微分
(−it)nf(t)↔F(n)(ω)(−it)nf(t)↔F(n)(ω)
频域积分πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dνπf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫−∞ωF(ν)dν
对称性F(t)↔2πf(−ω)F(t)↔2πf(−ω)
尺度变换f(at)↔1|a|F(ωa)f(at)↔1|a|F(ωa)
时移f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)
频移f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)
3.卷积的微分性质
设f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，则f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)
时域f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，频域有F(ω)=G(ω)H(ω)F(ω)=G(ω)H(ω)
时域f(t)=g(t)h(t)f(t)=g(t)h(t)，频域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)
周期函数fT(t)fT(t)傅里叶变换
由指数形式的傅里叶级数，两边取傅里叶变换，所以周期函数的傅里叶变换时受到2πFn2πFn调制的梳状脉冲(TT代表周期，Ω=2πTΩ=2πT)
fT(t)↔2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nΩ)fT(t)↔2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nΩ)
4.dtdyf变换因果信号f(t)f(t)可以显式地写为f(t)ε(t)f(t)ε(t)，一个因果信号及其单边dtdyf变换是一一对应的。每个非因果信号都对应唯一一个双边dtdyf变换，但是一个双边dtdyf变换在不同收敛域条件下，可以对应不同的非因果信号。
常见的单边dtdyf变换 gτ(t−τ2)ε(t)gτ(t−τ2)ε(t)∑n=0∞δ(t−nT)↔11−e−Ts∑n=0∞δ(t−nT)↔11−e−Tsε(t)↔1sε(t)↔1stε(t)↔1s2tε(t)↔1s2e−atε(t)↔1s+ae−atε(t)↔1s+asin(βt)ε(t)↔βs2+β2sin(βt)ε(t)↔βs2+β2cos(βt)ε(t)↔ss2+β2cos(βt)ε(t)↔ss2+β2sinh(βt)ε(t)↔βs2−β2sinh(βt)ε(t)↔βs2−β2cosh(βt)ε(t)↔ss2−β2cosh(βt)ε(t)↔ss2−β2 性质(双边dtdyf变换记为Fb(s)Fb(s)) （单边）尺度变换f(at)↔1aF(sa),a>0f(at)↔1aF(sa),a>0
（双边）尺度变换f(at)⟷b1|a|Fb(sa)f(at)⟷b1|a|Fb(sa)
（单边）时移f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0F(s)f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0F(s)
（双边）时移f(t−t0)⟷be−st0Fb(s)f(t−t0)⟷be−st0Fb(s)
（单边，双边）复频移es0tf(t)ε(t)↔F(s−s0)es0tf(t)ε(t)↔F(s−s0)
（单边）时域微分，可递推f′(t)↔sF(s)−f(0−)f′(t)↔sF(s)−f(0−)
f′′(t)↔s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)f″(t)↔s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)
（双边）时域微分，可递推f′(t)⟷bsFb(s)f′(t)⟷bsFb(s)
（单边）时域积分，可递推∫t0−f(τ)dτ↔1sF(s)∫0−tf(τ)dτ↔1sF(s)
∫t−∞f(τ)dτ↔1sF(s)+1s∫0−−∞f(τ)dτ∫−∞tf(τ)dτ↔1sF(s)+1s∫−∞0−f(τ)dτ
（双边）时域积分，可递推∫t0f(τ)dτ⟷b1sFb(s),α<σ<max(β,0)∫0tf(τ)dτ⟷b1sFb(s),α<σ<max(β,0)
∫t−∞f(τ)dτ⟷b1sFb(s),max(α,0)<σ<β∫−∞tf(τ)dτ⟷b1sFb(s),max(α,0)<σ<β
（单边，双边）ss域微分，可递推(−t)f(t)↔dF(s)ds(−t)f(t)↔dF(s)ds
（单边）ss域积分，可递推f(t)t↔∫∞sF(ν)dνf(t)t↔∫s∞F(ν)dν
对于傅里叶变换和dtdyf的积分性质，成立的条件是积分确实收敛，否则不成立。对于dtdyf变换的ss域积分性质，积分变量νν当作实数来积分（这一点可从其证明中看出来）.
（单边，双边）时域卷积f1(t)∗f2(t)↔F1(s)F2(s)f1(t)∗f2(t)↔F1(s)F2(s)
（单边）dtdyf逆变换可以将一个有理分式拆成多项式+真分式的形式F(s)=P(s)+B(s)A(s)F(s)=P(s)+B(s)A(s)，其中多项式部分的dtdyf逆变换是δδ函数的各阶导数，真分式部分可以作部分分式分解，再分别做逆变换。先求分母A(s)A(s)的根:
（1）若s0s0为一个单实根，则在部分分式中加入Ks−s0Ks−s0这一项，其中
K=[(s−s0)B(s)A(s)]∣∣∣s=s0K=[(s−s0)B(s)A(s)]|s=s0
（2）若s0,s∗0s0,s0∗为一个单重共轭复根，则在部分分式中加入K1s−s0+K2s−s∗0K1s−s0+K2s−s0∗，系数KK的计算方法同上，其中K1K1和K2K2必然是共轭关系
（3）若s0s0为一个r重实根，则在部分分式中加入
K1(s−s0)r+K2(s−s0)r−1+⋯+Krs−s0K1(s−s0)r+K2(s−s0)r−1+⋯+Krs−s0
其中
Ki={1(i−1)!di−1dsi−1[(s−s0)rB(s)A(s)]}∣∣∣s=s0Ki={1(i−1)!di−1dsi−1[(s−s0)rB(s)A(s)]}|s=s0
因果信号的单边dtdyf变换和傅里叶变换的关系
由于因果信号的单边dtdyf变换的收敛域在复平面上是一条竖线的右半开平面，收敛域σ>σ0σ>σ0。若有σ0<0σ0<0，即收敛域包含虚轴，则此时直接令dtdyf变换中的ss为iωiω即可得到傅里叶变换（即令ss的实部σ=0σ=0）。若有σ0>0σ0>0，则此时收敛域不包括虚轴，傅里叶变换不存在。若有σ0=0σ0=0，则此时将dtdyf变换作部分分式分解，必然有分式的极点位于虚轴上，此时可将其余极点不在虚轴上的部分分式作代换s→iωs→iω，而将极点位于虚轴上的部分，做逆变换求得时域形式，再作傅里叶变换（通常这部分和ε(t)ε(t)有关）。
反因果信号的双边dtdyf变换
现有反因果信号f(t)ε(−t)f(t)ε(−t)，则f(−t)ε(t)f(−t)ε(t)为一个因果信号。求f(−t)ε(t)f(−t)ε(t)的单边dtdyf变换F(s)F(s)且设收敛域σ>σ2σ>σ2.则有f(t)ε(−t)⟷bF(−s)f(t)ε(−t)⟷bF(−s)，收敛域σ<−σ2σ<−σ2
反因果信号的双边dtdyf逆变换
反因果信号及其双边dtdyf变换是一一对应的。现有Fb(s)Fb(s)为某反因果信号的双边dtdyf变换，则先求出Fb(−s)Fb(−s)的单边dtdyf逆变换f(t)f(t). 有f(−t)ε(−t)⟷bFb(s)f(−t)ε(−t)⟷bFb(s)
一般非因果信号的双边dtdyf正/逆变换
正变换：将f(t)f(t)分成因果信号与反因果信号的和，分别作双边变换，需要注意的是，收敛域为因果信号与反因果信号各自的收敛域的交集.
逆变换：将Fb(s)Fb(s)进行部分分式分解，根据给定的收敛域区分哪些分式是因果的，哪些是反因果的，分别对它们进行双边dtdyf逆变换.