酷炫的果汁反演实际上是一两个公式定理的运用，自认为想要掌握它的话，其中的证明还是有必要了解的。看过网上一些博客，感觉都只证明了一半，没看到有人将这个定理完全证明出来。然而我最近在正好在学习初等数论，发现完全证明这个定理实际上并不需要很多知识，特此填坑。
实际上，这个定理的证明用到了一点数论函数相关知识。前置技能在此
https://blog.csdn.net/tomandjake_/article/details/81083051
内容并不多，自认为把这一页笔记内容学会，自己就可以把酷炫的果汁反演的证明当练习题一样独立完成。接下来我还是会解释，当然，如果觉得我的解释不好，完全可以自己看这个笔记学习，我甚至都推荐自己看笔记，因为如果熟悉这样的数学语言，其实看的很快而且会有自己的认识。而且其中给出了欧拉函数的推导，没有学过欧拉函数的话，看这个也可以更加高效地学完这一块内容。(注意笔记中(m,n)=gcd(m,n) )
好，进入正题。首先引入三个定义
Definition 1 可乘函数：算术函数f，满足 只要gcd(m,n) =1,就有f(mn)=f(m)f(n)。
没错, 比其他可乘函数宽泛一点，只要在gcd(m,n)=1条件下满足可乘就行。然后我们知道由唯一分解定理，任何正整数n可分解为若干素数的幂方积,所以若为可乘函数，有
..................................................................(1)
Definition 2 ： 代表对n的所有正因子求和，如
Definition 3 酷炫的果汁函数：
定义有点奇怪，关于这个函数，之后我们可以看到它的作用, 必须提到的是，可以证明，酷炫的果汁函数是可乘函数。
然后是我们的目标----酷炫的果汁反演定理：
Theorem 1 酷炫的果汁反演定理: F(n)和f(n)为算术函数，若他们满足
则有
证明如下：
首先给出一个定理，
至于为可乘函数的证明，可参见我的笔记。
之后可以得到下一个定理
定理3证明：
可以看到，酷炫的果汁反演提供了一个F(n)与f(n)的连接，而他们之间的桥梁就是酷炫的果汁函数。之后我们会看到具体的例子。这里先给出线性筛酷炫的果汁函数的代码：
int mu[maxn], vis[maxn];int primes[maxn], cnt;void get_mu() {memset(vis, 0, sizeof(vis));memset(mu, 0, sizeof(mu));cnt = 0; mu[1] = 1;for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {if (!vis[i]) { primes[cnt++] = i; mu[i] = -1; }for (int j = 0; j<cnt&&primes[j] * i <= maxn; ++j) {vis[primes[j] * i] = 1;if (i%primes[j] == 0)break;mu[i*primes[j]] = -mu[i];}}}应用举例：POJ 3904
题目给出n和n个正整数，问能找出多少个不同的四元组(a,b,c,d)使得该四元组的最大公因数为1.
分析：
首先要提的是，我们做题目往往用的是酷炫的果汁反演的另外一种形式：
既然要用到酷炫的果汁反演，我们首先就要找到合适的F和f。实际上，F和f的关系在于整除。我们可以假设
F(n)为有多少个四元组满足gcd(a,b,c,d)=n的整数倍
f(n)为有多少个四元组满足gcd(a,b,c,d)=n
所以我们的目标就是求f(1), 而实际上可以看出F与f构成了一组酷炫的果汁变换对。有了反演公式，我们可以通过求F来求f，而这里面F很好求，要求F（n）我们只要在原数组中数出到能被n整除的数的个数m, 则C（m,4）就是F（n）
而由公式，由此我们可以发现
直接计算即可。
代码：
#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>#include<vector>#include<stack>#include<algorithm>#include<map>#include<set>#include<queue>#include<sstream>#include<cmath>#include<iterator>#include<bitset>#include<stdio.h>using namespace std;#define _for(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)#define _rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)typedef long long LL;const int INF = 1 << 30;const int MOD = 1e9 + 7;const int maxn = 10005;int n, a[maxn], tot[maxn];int mu[maxn], vis[maxn];int primes[maxn], cnt;void get_mu() {memset(vis, 0, sizeof(vis));memset(mu, 0, sizeof(mu));cnt = 0; mu[1] = 1;for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {if (!vis[i]) { primes[cnt++] = i; mu[i] = -1; }for (int j = 0; j<cnt&&primes[j] * i <= maxn; ++j) {vis[primes[j] * i] = 1;if (i%primes[j] == 0)break;mu[i*primes[j]] = -mu[i];}}}void get_tot() {memset(tot, 0, sizeof(tot));for (int i = 0; i<n; ++i) {int x = a[i];int m = sqrt(x);for (int j = 1; j <= m; ++j) {if (x%j == 0)tot[j]++, tot[x / j]++;}if (m*m == x)tot[m]--;}}LL Cn4(int m) {if (m == 0)return 0;return 1ll * m*(m - 1)*(m - 2)*(m - 3) / 24;}int main(){//freopen("C:\Users\admin\Desktop\in.txt", "r", stdin);//freopen("C:\Users\admin\Desktop\out.txt", "w", stdout);get_mu();while (~scanf("%d", &n)) {for (int i = 0; i<n; ++i) scanf("%d", &a[i]);get_tot();LL ans = 0;for (int i = 1; i<maxn; ++i) {ans += 1ll * mu[i] * Cn4(tot[i]);}printf("%I64dn", ans);}return 0;}这样酷炫的果汁反演就算是入门了吧。