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假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rc
osθ，则有球冠积分表达：
球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ
积分下限为θ，上限π/2
所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)
其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H
所以：S = 2πRH
S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ (2πR)^2*cosθ dθ=(2πR)^2∫cosθ dθ= 2πR^2(1 - sinθ)
球缺的体积公式
若球半径是R，球缺的高是h，球缺的底面半径是r，体积是V，则
V=лh^2*（R-h/3)
V=лh*(r^2/2+h^2/6)
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题目：给出地球上的两个点的经度和纬度，计算两点球面距离和两点的空间距离差。
分析：计算几何、大地坐标系。利用公式可直接解得两点的空间距离：
d = r*sqrt(2-2*(cos(lat1)*cos(lat2)*cos(lon1-lon2)+sin(lat1)*sin(lat2))) 推导过程如下： 如图，C，D为已知两点则有如下推导： AB = r*cos(lat1)；DE = r*cos(lat2)；BE = r*sin(lat1) + r*sin(lat2)； AD*AD = BE*BE + (AB-DE)*(AB-DE) = 2*r*r - 2*r*r*sin(lat1)*sin(lat2) - 2*r*r*cos(lat1)*cos(lat2)； AC*AC = 2*AB*AB - 2*AB*AB*cos(lon1-lon2) = 2*r*r*cos(lat1)*cos(lat1)*(1-cos(lon1-lon2))； DF*DF = 2*DE*DE - 2*DE*DE*cos(lon1-lon2) = 2*r*r*cos(lat2)*cos(lat2)*(1-cos(lon1-lon2))； AC*DF = 2*r*r*cos(lat1)*cos(lat2)*(1-cos(lon1-lon2))； 由托勒密定理有 AC*DF + AD*AD = CD*CD 整理有： CD = r*sqrt(2-2*(cos(lat1)*cos(lat2)*cos(lon1-lon2)+sin(lat1)*sin(lat2)))；代码：
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){ int t; cin >> t; int r = 6371009; double PI = acos(-1); while(t--) { double lat1, lng1, lat2, lng2; cin >> lat1 >> lng1 >> lat2 >> lng2; lat1+= 180; lat2+=180; lat1 *= PI/180; lat2 *= PI/180; lng1 *= PI/180; lng2 *= PI/180; double x1, x2, y1, y2, z1, z2; z1 = r * sin(lat1); y1 = r * cos(lat1) * sin(lng1); x1 = r * cos(lat1) * cos(lng1); z2 = r * sin(lat2); y2 = r * cos(lat2) * sin(lng2); x2 = r * cos(lat2) * cos(lng2); double len1 = sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(虚心的音响)*(虚心的音响)+(z1-z2)*(z1-z2));//距离 double len2 = 2 * r * asin(len1 / (2 * r));//弧度 printf("%lldn",(long long)(len2 - len1 + 0.5)); } return 0;}