以圆的图像开始，求切线的斜率就是把这个点放大很多倍，然后找到dy和dx。但是注意y没写成f(x)形式，所以不能直接求导。这种曲线不能叫函数，叫隐函数。
隐函数的求导结果是这样的？但是为啥呢？
开始探究 1. 相关变化率考虑一个梯子长5米
问如果梯子以1m/s下滑，问你梯子底端的移动速度多少？
我们定义y(t)和x(t)的函数，表示这两段随时间的变化。说实话我没想到时间这个维度，所以就比人家少根筋啊。然后把x(t)挪一边，运用链式求导直接算，但是不用这么麻烦的，我们下面用一种新方法。
等式左边是一个关于时间的函数，但是函数值是常数，所以函数的变化率为0。
对两边求导，相当于在问，经过dt时间后，梯子总的长度变化多少，而总的长度变化又和dx(t)和dy(t)有关。长度没变，所以导数为0. 感觉一些数学公式的推导就是你要先相信你写的，才能接着推，你自己都怀疑你随便写的，怎么在此基础上向下进行呢？
设刚开始为起点，x(t)啊，y(t)，dy/dt都知道，所以一代入就知道结果了
梯子和圆的问题的区别就是一个有dt，一个没有
这样就证明了隐函数的求导。
2. 从S的角度考虑问题设S=x^2+y^2, 点(x,y)在圆外，S>25；在圆上，S=25；在圆内，S<25
S的求导就是考虑，在x有dx变化和y有dy的变化下，新的点偏移到圆内，dS是多少？开奖人直接给出了dS,不知根据啥？
然后他就给出在(3,4)这个点，dx=-0.02，dy=-0.01时的dS，就好像dS本就是这样，也没去证明。
又讲dS的本质是(x,y)偏移（dx,dy）后，相应的平方和偏移了多少。这些都是近似值，dx和dy越小越精确。
要想让dS=0，即新点一直在圆上，那么就要满足2xdx+2ydy=0。也就是要求每一步落在过圆的切线上，并且步子越小越在圆上。
这里解释一下，dx，dy越小，两边的变化量才是真实的变化量，所以新点近似在圆上；dx，dy太大，虽然变化量相等，但这变化量和真实变化量差距太大，新点不能保证在圆上。
再看这条线的性质，直线且包含圆上有点，肯定是切线了。
这个图在告诫我们，dS只是近似值，dx，dy越小近似得越真，这里要深刻理解，不要把直线上所有点都当真实的近似啊。
3.再考虑一个例子相关图像也挺奇怪的。
对左右两边求导，就能知道两边函数各变化多少。在dx,dy极小下，只有两边相等时，说明两边函数的变化值相等，所以新点还满足约束，所以还在曲线上。
但是这条求出的直线为啥是切线呢？不知道啊。。。。。
解释一下，这里有个先有谁的问题，注意你在说两边变化量相等时，就是假设dx，dy趋近于0，这时才敢说你算的变化量约等于真实的变化量，记住这个dx，dy都是极小值，所以新点(x+dx,y+dy)和老点(x,y)挨得极近，所以通过俩点的线就是切线。
套用第二章的图，变化量=导数*dx，导数就是切线的斜率。算变化量时，导数是已知的，摆在那里，所以dx极小时，变化量才和真实的变化量基本一样啊，否则偏差越来越大，你算出的变化量无法刻画真实的变化量。
总结一下啊：1.两边变化量画等号前，dx，dy假设极小的数；2.算出了dy/dx的比值，得到一条斜线；3.此斜线无限长，但是只有dx,dy极小的点才是在曲线上，太大的点不能保证算出的变化率就是真实的变化率。4.又因为dx,dy极小，所以通过新点和老点的直线就是切线。
用隐函数求其他导数考虑这个函数，斜率就是这样写，但这样写也展开不了，最后等于多少呢？下面用隐函数解决。
把函数变形，求出左右两边函数的变化量。变化量相等的话，新点就还在曲线上。假如两边不等，新点(x+dx,y+dy)落不到曲线上。注意切线上的点都满足此等式，切点附近的点 近似在曲线上。
感悟
这节就是讲同时对等号两边求导，求出两边在(dx,dy)的偏移下，函数两边各自的偏移。设两边相等，会求出一条在(x,y)的切线，该切线上的所有点都满足关于dx和dy的性质，但是只有切点附近的点才近似在圆上。dy/dx就是隐函数。
这里有个弯，dx，dy越大，估计的变化量越不准确，具体联想导数的定义和导数的图像。所以两边各自加上自己的变化量后，得到的新值距真实值差距更远，虽然此时新值相等，但不是真实值啊，所以新值相等也没用。
只有dx，dy足够小，新值才近似等于真实值，所以相加后得到的新值相等也说明真实值相等，所以新点还在曲线上。
上述告诉我们两边的变化量只有在微观下相等才准确，而导数那章告诉我们变化率只有在微观下才准确。