为什么不看看生动形象的视频理解呢~https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=10
向量点积点积有两种好记好用的理解方法，他们都可以基于做功去理解：
假设a是个均匀分布的力场，b为受到其作用进行的一个运动。
第一种基于几何：
a点乘b等于一方（例b）投影到另一方（例a）的长度乘以另一方的长度（此处为a），即b在a方向的距离乘以力的大小。
另一种基于代数：
他们的点积就是b的x方向运动长度与a的x方向分力大小的乘积，加上b的y方向运动长度与a的y方向分力大小的乘积
那么这两者，从数学的角度上看，或者从线性代数的角度上，能否找到一个统一的理解方法呢？（物理上能够统一在于正交分解的物理特性，物理用向量作为工具研究，而能否不从工具的角度统一而从其本身实现统一呢）
这个问题就要继续用线性变换来解释了
众所周知，下图是一个平面上的线性变换，而且我们在上一节中能够知道，这就是将空间的基坐标[1 0][0 1]变换到[x m]和[y n]的变换矩阵
那么下图是什么呢，本质其实也是一个线性变换矩阵，我们 将原空间的基坐标[1 0][0 1]看作变换到[x] 和 [y]后，那么原空间任意一个向量[p q] 变换后的坐标显然，根据上一讲的理论，就是[xp+yq]，也就是点积的值。下面我们称之为线性变换法
是的，我们完成了一次从二维到一维的坍缩（好吧就是线性变换而已，说的玄里玄气的）。
而投影 本质不也是一次二维到一维的线性变换吗
（确实是线性变换，你可以发现空间任何点对某一向量的投影符合线性变换的充要条件的）
我们观察第一张图的投影
b投影到a的方向后，得到的是什么？
是一个长度值，而更精确的说，是一个坐标，这个坐标的度量（或者说单位），就是a。Projab个a，就是Projab的值乘以a的长度（在这里我们完全不去考虑原空间了，所以a的[x y]仅仅是作为在原空间中求解出a长度的工具） 下面称之为投影法
所以投影法和线性变换法的统一点就在于：
这两种方法做的都是同一件事，就是将一个向量压缩到另一个向量wxdsmt的空间上，一种是整个空间以后者为变换矩阵变换后，此向量自然的落到此空间中，另一种是前者自己单个向量进行压缩，按比例地拉伸到这个空间中，它当然可以作用到原空间的其它向量，和前一种方法效果是一样的。他们都能够成功地描述被压缩向量基于变换向量的贡献度而被分配到被压缩空间中一个特定的值，且效果一致。（贡献的说法属于是ACM题述后遗症了，但是是一个不错的抽象，对于投影法，就是投影长度，对于向量的线性变换法，是被压缩向量的坐标本身（这个坐标会用来分别于压缩空间的那组基相乘而得到这个特定的值））
从我的理解来看，投影后拉伸作为一个特定的计算方法就好，线性变换才是本质。
最后稍微注意一下，投影是一种独立的线性变换，投影后拉伸才是我们这里研究的关乎向量的线性变换
（正负说明压缩后与未被压缩的向量的方向关系，好理解）