矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值 λ lambda λ构成的矩阵。包含三个运算：
1、互换两行（列）
2、某行（列）乘非零常数
3、某行（列）乘多项式后加到另一行
n阶 λ lambda λ矩阵可逆的充要条件是： A ( λ ) = 非 零 常 数 A(lambda)=非零常数 A(λ)=非零常数
因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子，所以可以通过初等变换来求smith标准型。
由此引出smith标准型的概念：
1、最高次幂系数为1
2、 d ( λ i ) d(lambda_i) d(λi)能够整除 d ( λ i + 1 ) d(lambda_{i+1}) d(λi+1)
3、 λ lambda λ矩阵的smith标准型是唯一的
用上面的三个运算可以把一个 λ lambda λ矩阵化为smith标准型，举例：
技巧：
这样求smith标准型比较麻烦，容易出错。接下来就引出了求smith标准型的第二种方法，为了学会这个方法，先要了解一些概念。
行列式因子
k阶行列式因子是 A ( λ ) A(lambda) A(λ)中全部非零k阶子式的最高次幂系数为1的最大公因式。
上式中，分别求得了各阶的非0子式，然后在每一阶中找到最大公共子式，这就是行列式因子。
性质：等价的 λ lambda λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。
行列式因子就是smith标准型对角线上的元素。
不变因子
不变因子就是smith标准型对角线上的相邻元素之商。
例：
如果一阶子式有一个数字，那么一阶行列式因子就是1。
性质：两个 λ lambda λ矩阵等价的充要条件是具有相同的行列式因子，有相同的不变因子。
初等因子
对不变因子做因式分解，得到1次因式方幂。
性质：
一、分块矩阵的初等因子是各个块的初等因子。
二、Jorden矩阵的初等因子为