椭圆标准方程典型例题
例1已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和35
2，过P 点作焦点所在轴
的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且
3541=
PF ，35
22=
PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．
从
2
1PF PF >知
2
PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，
2
1
sin 1
221=
=
∠PF PF F PF ，
可求出
621π
=
∠F PF ，
3526
cos
21=
?=π
PF c ，从而310
222=
-=c a b ．
∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或151032
2=+y x ．
例2 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，
2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，
α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示)．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用
C ab S sin 21
=
?求面积．
解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：
221F F 2
221PF PF +=1
2PF -·
224cos c PF =α．①
由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得
αcos 122
21+=?b PF PF ． 故αsin 21212
1PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212
+=b
2tan 2αb =．
例3 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()6432
2
=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，
即定点()03，
-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即
8
==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，