梯度、散度和旋度的定义及公式表达
梯度是个向量
或表示为
散度是个标量
设有一个向量场
通量可写为
则散度
并有运算关系式
旋度是个向量
rotA或curlA
或可以写成
例如求F沿路径r做的功
矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流
说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,?dotA点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。
散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。
散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。如下式
梯度物理意义：最大方向导数（速度）
散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。
旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。
附：
散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）
若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).
一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.
梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)
纯量值最小处指向周围纯量值最大处.
而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度"
举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,
纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,
会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的
那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.
散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量
散度的作用对像是向量场,
如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),
在这个点上,向量场的发散程度,
如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.
如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.
一样,举例子:
因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,
这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,
是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,
假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,
就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.
对啦..这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度....冷....),
大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.
旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量
旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲:
如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,
这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状??
不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道
屁到底是来自哪个方向的.
而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.
这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),
而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)
旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,
散度对应的其实就是径向移动的情况.
而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动,
但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.
在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,
因此,在这情况下,旋度仍然是零.
也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度....
而甚么时候是有旋度的呢??
如果这时候音乐一放,
大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)
这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)
以上这三个,有一点一定要记得的.
不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),
所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.
以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,
而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,
纳须弥于芥子,这就请自行想象吧.