数字信号处理第11章傅里叶变换对 续
11-2 Sinc 函数
图11-3表示一个常见的变换对：矩形脉冲和sinc(发音"sink")函数。sinc函数的定义是：
sinc(a) =
sin(πa)/(πa) ,
不过，我们常看到模糊的叙述：“sinc函数是sin(x)/x的一般形式。”
换句话说，sinc是衰减到振幅为1/x的正弦波。图(a)中，矩形脉冲对称于样本0，一半脉冲
在右，另一半在左。在DFT中呈现单个脉冲，因为时域是周期性的。此信号的DFT示于图(b)
和(c)，其未解包形式如图(d)和(e)。
先看看未解包频谱(d)和(e)。未解包的大小随着增加的频率而振幅衰减地波动。相位包含
所有的0，如同时域信号中那样，围绕着中心样本0呈对称状。我们利用术语：未解包大小来表
示其可以有正和负值。依照定义，大小必须总是正的。如图(b)和(c)，引入一个相位移π
时，在所有频率情况下，该处的大小均为正，而图(d)未解包的大小有些地方为负。
图(f)，信号被移位，呈一个相邻脉冲，但不再对称于0号样本。此时频域中的大小不变，而
相位加了一个线性分量，造成杂乱形状。作为实部和虚部的频谱是什么样子呢？太令人困惑了。
一个含单一振幅的M点宽的矩形脉冲的N点时域信号，其DFT频谱的公式是：
另外，DTFT可以用取样率的分数(系数)来表示频谱，f：
换言之，式11-1在频谱中提供 N/2 + 1 个样本，而式 11-2 提供连续曲线(对应着样本)。
此两个公式仅提供大小。相位仅决定于时域波形的左右位置，如上一章讲过的那样。
注意图11-3，在频率到达0.5之前振幅尚未衰减到0. 正如所期待的波形连续到下一个周期
时被混叠了。这就改变了频域形状，是包括在式11-1和式11-2的效应。
当混叠未出现时，了解频谱的形状通常很重要。这是因为离散信号通常用来表达或模化连续
信号的，而连续信号是不会混叠的。为了去除式11-1和11-2的混叠，分别将分母sin(πk/N)
改变为 πk/N和将sin(πf) 改变为 πf 。图11-4表示了这层意义。量 πf 只是从0到1.5708，
因为 f 仅从0到0.5 。超过这个范围时，sin(πf)与 πf 差别不大。在0频率时它们有同样的值，
而在0.5频率时只有36%的差别。没有了混叠，图11-3b的曲线将表示靠近图形右边呈稍低的
振幅，而靠近左边的不变。
当矩形脉冲频谱没有混叠(因为时域信号是连续的，或者你忽略不计)，一般形式就是：
sin(x)/x , 即sinc函数。 对于连续信号来说，矩形脉冲和sinc函数是一对傅里叶变换对。
对于离散信号来说，这仅仅是近似，具有因混叠产生的误差。
sinc函数在x=0时，有一个讨厌的问题，变为0被0除。这不是一个数学难题；当x非常小
时，趋近于x值(见图11-4)。这使sinc函数变为 x/x ,其值为1 。换言之，当x越来越小
时，此值趋近于1，即sinc(0) = 1。那么，好，告诉计算机！所有被0除的除法都会被终止
程序。要点是记住，在计算sinc函数时，你的程序必须在x=0时经特殊处理。
sinc函数的关键特点是零交叉位置。发生在频率为正弦波周期的整数倍时。例如，矩形脉冲
是20点宽，频域中第一个零在20点的完整周期。第二个零在20点的2个完整周期，等等。
这可以靠记住DFT如何用相关法计算来了解。频率分量的振幅，将时域信号乘以一个正弦波
并加上结果样本。如果时域波形是单位振幅的矩形脉冲，同样在矩形脉冲内加上正弦波样本。
如果此和超过正弦波周期的整数倍。结果将为零。
sinc函数广泛用于DSP，因为它是非常简单波形(矩形脉冲)的傅里叶变换对。例如，
sinc函数用于谱分析中，在第9章讨论。考虑一个无穷长离散信号的分析。由于DFT只能在有
限长信号时工作，用N个样本来表示较长的信号。这里，关键是“从较长信号中选N个样本”，
较长信号同样乘以一个矩形脉冲。矩形脉冲中的一个保持对应的样本，同时用诸多的零来消
掉它们。这如何影响信号的频谱呢？时域乘以一个矩形脉冲产生：频域用一个sinc函数进行
卷积。这就转换为频谱的解，如同前面第9章的图9-5a所示。