定理10有一个非常重要的应用，它给我们提供了确定函数极大值与极小值的方法。我们期望从单变量函数的相关知识来得出二阶导数的判定准则，所以我们先回顾一下实变量实况。
如果 f:R→R 在 x0 处有一个局部极大或极小，并且 f 在x0处可微，那么 f′(x0)=0 。更进一步，如果 f 二次连续可微，并且若f′′(x0)<0，那么 x0 是局部最大值，若 f′′(x0)>0 ，那么它是局部最小值。
为了将这些事实推广到函数 f:A⊂Rn→R 上，我们首先从相关定义开始。
定义6 令 f:A⊂Rn→R ，其中 A 是开集。如果存在一个x0∈A的邻域并且在这个邻域内 f(x0) 是最大值，即对于邻域内的所有 x,f(x0)≥f(x) ，我们称 f(x0) 是 f 的局部最大值。同样的，我们可以定义f的局部最小值。如果一个点要么是 f 的局部最大值要么是最小值，那么我们称该点是极值点(extreme)，如果f 在点 x0 处可微且 Df(x0)=0 ，那么我们称 x0 是驻(critical)点。
第一个基本事实可以用下面的定理来表述。
定理11 如果 f:A⊂Rn→R 是可微的， A 是开集，如果x0∈A是 f 的一个极值点，那么Df(x0)=0；即 x0 是一个驻点。
它的证明大部分与基本微积分是一样的，因为 f 图像的极值点肯定有一个水平切平面，所以这个结论直观上非常明显。然而，仅仅是驻点不能保证该点就是极值点。例如考虑函数f(x)=x3，因为 Df(0)=0 ，所以 0 是该函数的驻点，但是x>0时 x3>0 ，而 x<0 时 x3<0 ，所以0不是极值。另一个例子是 f(x,y)=y2−x2 ， 0=(0,0) 是驻点，因为 ∂f/∂x=−2x,∂f/∂y=2y ，所以 Df(0,0)=0 。然而在0的任何邻域内我们可以找出使得 f 大于零与小于0的点。不是局部极值的驻点称为鞍点(saddle point)，图1说明了为了用这个术语。
对于f:A⊂R→R，我们已经说明如果 f′(x)=0,f′′<0 ，那么它有局部最大值，回忆一下几何情况， f′′<0 意味着 f 是向下凹的。为了推广，下面我们引进函数g在点 x0 处jqddy(Hessian)的概念。
定义7 如果 g:B⊂Rn→R 是 C2 类，那么 g 在x0处的jqddy定义为双线性函数 Hx0(g):Rn×Rn→R ，形式为 Hx0(g)(x,y)=−D2g(x0)(x,y) (注意负号)，从而jqddy仅仅是二阶偏微分的矩阵加负号。
双线性形式，即双线性映射 B:Rn×Rn→R 称为正定的(positive definite)，如果对于 Rn 中所有的 x≠0,B(x,x)>0 。称为半正定的(positive semidefinite)，如果对于 Rn 中所有的 x≠0,B(x,x)≥0 。负定与半负定双线性形式定义类似。
图1
接下来我们推广到多变量的情况。
定理12
如果 f:A⊂Rn→R 是定义在开集 A 上的C2函数，并且 x0 是 f 的驻点使得Hx0(f)是正定的，那么 f 在x0处有一个局部最大值。如果 f 在x0处有一个局部最大值，那么 Hx0(f) 是半正定的。对于极小值的情况只需要将上面定理中的正改成负即可，注意 f 的最小值就是−f的最大值。
Hx0(f) 对标准基的矩阵是
其中偏导数都是在 x0 处计算的。
当 n=1 时，定理12 (i) 简化为单变量测试 f′′(x0)<0 。如果 f′′(x0)=0 ，那么函数有极大值或极小值或鞍点，(此时测试失效)例如 f(x)=−x4,x5,x4 在 x0=0 处分别有最大值，鞍点与极小值，虽然他们的 f′′(x0)=0 。
提及一些线性代数的知识可能比较有帮助，令 Δk 是矩阵
的行列式，这个矩阵就是jqddy矩阵去掉最后 n−k 行和列得到的，那么对称矩阵 Hx0(f) 是正定的，当且仅当对所有的 k=1,…,n,Δk>0 ，它是半正定的当且仅当对所有 k=1,…,n,Δk≥0 。这里我们不证明一般情况，在下面的例1中，我们证明 2×2 矩阵，下面还给出了负定的判别准则，从而对 k=1,…,n ，如果 Δk>0 ，那么 f 在驻点x0处有(局部)最大值，这可能是应用定理12 的最佳方式。对任意 k 如果Δk<0，那么 f 在x0 处没有最大值。同样的，如果 Hx0(f) 是负定的，那么 f 在x0处有(局部)最小值。通过改变 Hx0(f) 的符号以及利用行列式的性质，可以得出如果 k 为奇数时Δk<0， k 为偶数时Δk>0，那么 Hx0(f) 是负定的，如果 k 为奇数时Δk≤0， k 为偶数时Δk≥0，那么 Hx0(f) 是负定的，从而当 k 为奇数时Δk<0，当 k 为偶数时Δ>0，那么 f 在x0处有最小值。
如果对某些奇数 k,Δk>0 ，对某些偶数 k,Δ<0 ，那么 f 在x0处不可能有最小值。事实上，如果对面某些 k,Δk<0 ， f 在x0既没有最大值也没有最小值， x0 肯定是 f 的鞍点。
这个定理在力学中也非常有用，这时f是一个系统的势能，那么最小值对应稳定态，最大值与鞍点对应不稳定态。
例1： 说明矩阵
是正定的，当且仅当 a>0,ad−b2>0 。
解： 正定意味着
即 ax2+2bxy+dy2>0 。首先假设对于所有的 (x,y)≠(0,0) 该不等式均成立，令 y=0,x=1 我们得到 a>0 ，令 y=1 ，那么对所有的 x ，我们有ax2+2bx+d>0，这个函数是抛物线且在 2ax+2b=0 处有最小值(因为 a>0 )，即 x=−b/a ，从而
即 ad−b2>0 。反过来可以用同样的方式来证明。
例2： 研究 f(x,y)=x2−xy+y2 鞍点 (0,0) 的性质。
解： 这里
所以jqddy矩阵是
这里 Δ1=−2<0,Δ2=4−1=3>0 ，所以jqddy矩阵是负定的，从而我们有一个局部最小值。