在三维空间中，两个向量的乘积（向量积，外积，乘积，区别于两个向量的数乘：内积，点积）表示两个向量的扭矩，而三个向量的混合积A×B·C，则表示由三个向量A,B,C所构成的平行六面体的面积。而且在混合积中A,B,C的位置是可以互换的（这个很容易证明），这也符合我们的经验。那么问题来了？
1）3个或者N>3个三维向量相乘如何定义？A×B×C×D....因为A×B是有定义的，A×B是向量，那么只要继续乘就可以了，这也说明3维向量相乘，向量个数不是问题；
2）向量个数不是问题，那4维向量的两个向量相乘呢？
设A=(a1,a2,a3,a4),B=(b1,b2,b3,b4) A*B=(x1,x2,x3,x4)则满足如下方程组：
① A·(A*B)=0
② B·(A*B)=0
③ |A*B|=|A|*|B|sinθ。
这是一个4元二次方程组，但只有3个方程组，显然解不是一个。这说明A*B在4维空间，如果按垂直来定义，无法唯一确定，其结果是一个面(受限的)。
类似的，扩展到n维空间，方程组还是只有3个。结果是n-2维体（面）（受限于方程）。
下面推广n维向量的
n-1个向量积：A1*A2*...A(n-1)·；
混合积:A1*A2*...A(n-1)·An.
/// <summary> /// 向量积 /// </summary> /// <param name="A"></param> /// <param name="B"></param> /// <returns></returns> public static TVector Mul(TVector A, TVector B) { if (A.Count == B.Count && B.Count == 3) { var theI = A[1] * B[2] - A[2] * B[1]; var theJ = -(A[0] * B[2] - A[2] * B[0]); var theK = A[0] * B[1] - A[1] * B[0]; TVector theV = new TVector(theI, theJ, theK); return theV; } else { throw new Exception("现仅支持3分量."); } } /// <summary> /// n维向量的n-1个向量的乘积，n>3 /// </summary> /// <param name="Vectors">向量组</param> /// <returns></returns> public static TVector Mul2(params TVector[] Vectors) { if (Vectors==null || Vectors.Length < 2) { throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式"); } var theN = Vectors[0].Count; if (theN != Vectors.Length + 1) { throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式"); } var theA = new double[theN, theN]; for (int i = 0; i < theN; i++) { theA[0, i] = 1; } for (int i = 0; i < theN; i++) { for (int j = 0; j < Vectors.Length; j++) { theA[j + 1, i] = Vectors[j][i]; } } //按第一行展开求代数余子式，并计算行列式.(1,j)的代数余子式就是所求向量第j个分量的值. var theRetA = new double[theN]; for (int j = 0; j < theN; j++) { var theA1 = LinearAlgebra.GetDeterminantMij(theA, 1, j + 1); var theSign = LinearAlgebra.CalcDeterMijSign(1, j + 1); theRetA[j] = theSign * LinearAlgebra.CalcDeterminant(theA1); } return new TVector(theRetA); } /// <summary> /// n维向量的n个向量的混合积A1×A2.....An-1·An /// </summary> /// <param name="Vectors">向量组</param> /// <returns></returns> public static double Mul3(params TVector[] Vectors) { if (Vectors == null || Vectors.Length < 2) { throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式"); } var theN = Vectors[0].Count; if (theN != Vectors.Length) { throw new Exception("参数错误必须是n维向量n个向量模式"); } var theA = new double[theN, theN]; for (int i = 0; i < theN; i++) { for (int j = 0; j < Vectors.Length; j++) { theA[j, i] = Vectors[j][i]; } } return LinearAlgebra.CalcDeterminant(theA); } /// <summary> /// 向量混合积A×B·C /// </summary> /// <param name="A"></param> /// <param name="B"></param> /// <returns></returns> public static double Mul(TVector A, TVector B, TVector C) { if (A.Count == B.Count && B.Count == 3) { double[,] theA = new double[3, 3]; for (int i = 0; i < 2; i++) { theA[0, i] = A[i]; theA[1, i] = B[i]; theA[2, i] = C[i]; } return LinearAlgebra.CalcDeterminantAij(theA); } else { throw new Exception("现仅支持3分量."); } }
暂时研究到此，后面有时间继续研究。 注意：算法中用到的函数参见Mymathlib系列.
后记：N维空间中（N>3)的两个向量相乘，如果按照三维空间中的向量积的定义方式，往往得不到唯一的积向量，对于大于三维的空间，不好获得直观的看法。我们不换假设在平面上有一条线A,另一条线B与之垂直，如果B的模确定，则B是确定的，但如果是三维空间，则满足与A垂直且模一定的线段，就不止一条了，而是一个圆。那么在4维空间中，对于A*B,满足向量积定义的向量也不是唯一的。