逛木虫的时候看到一个很旧的数学帖子被人挖了坟，这个帖子大概是讨论如果把复数看作是向量，那么复数乘法应该怎么看待？向量之间有乘法？例如复数$(1+i)$和复数$i$，其对应的向量分别是$left[ {begin{array}{*{20}{c}} 1\ 1 end{array}} right]$和$left[ {begin{array}{*{20}{c}} 0\ 1 end{array}} right]$，那么两个向量怎么运算才能得到复数$-1+i$对应的向量$left[ {begin{array}{*{20}{c}} -1\ 1 end{array}} right]$呢？
事实上，我认为只把复数看作是向量是不够的！既然把复数看作向量，那么我们也应该讨论（线性）变换，这是make sense的。因此，如果我们把向量也看作是线性变换，那么结果就是trivial的了！
我们知道，每个非零复数都具有指数形式（exponential form）：$z = r{e^{itheta }}$。而${e^{itheta }}$是一个“旋转变换”，即把一个向量顺时针旋转$theta$角度，在线性代数的角度看来，其对应的线性变换是$left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{cos theta }&{ - sin theta }\
{sin theta }&{cos theta }
end{array}} right].$因此，每一个复数都可以唯一地对应于一个线性变换：$$z = r{e^{itheta }} sim rleft[ {begin{array}{*{20}{c}}
{cos theta }&{ - sin theta }\
{sin theta }&{cos theta }
end{array}} right].$$ 于是，复数乘法$z_1 * z_2$我们就可以把复数$z_1$看作是线性变换$T$，而复数$z_2$看作是其对应的向量$v$，就有$$z_1 * z_2 sim T v.$$最后我们把向量$T v$再对应回复数域即可。
Example. 计算复数乘法$(1+i)*i$。
首先我们容易知道$1 + i = sqrt 2 {e^{ifrac{pi }{4}}} sim sqrt 2 left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{cos frac{pi }{4}}&{ - sin frac{pi }{4}}\
{sin frac{pi }{4}}&{cos frac{pi }{4}}
end{array}} right] = left[ {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\
1&1
end{array}} right]$，并且 $i sim left[ {begin{array}{*{20}{c}}
0\
1
end{array}} right]$，则$left[ {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\
1&1
end{array}} right]left[ {begin{array}{*{20}{c}}
0\
1
end{array}} right] = left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\
1
end{array}} right] sim -1 + i$。因此$left( {1 + i} right)i = - 1 + i$。
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