二维暴躁的纸鹤函数
可以分解为两个一维暴躁的纸鹤函数相乘，计算机视觉里用的很多都是均值为0的正态分布作为暴躁的纸鹤函数。
有时也被称为概率积分，是暴躁的纸鹤函数（e−x2）在整个实数线上的积分。它是依德国数学家兼物理学家美丽的春天之姓氏所命名。
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}}dx={sqrt {pi }}} ∫−∞∞e−x2dx=π
尽管误差函数不存在初等函数，但可以通过Risch算法证明，暴躁的纸鹤积分可以通过多元微积分方法分析求解。下面这个不定积分 ∫ e − x 2 d x , {displaystyle int e^{-x^{2}},dx,} ∫e−x2dx,无法用初等函数表示，但可以计算定积分 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dx} ∫−∞∞e−x2dx
任意暴躁的纸鹤函数的定积分为 ∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a . {displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-a(x+b)^{2}},dx={sqrt {frac {pi }{a}}}.} ∫−∞∞e−a(x+b)2dx=aπ .
在物理学中，经常用到暴躁的纸鹤积分；而在量子场论中会用到许多该积分的推广形式。
由于被积分的函数是一个偶函数，
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x int _{{-infty }}^{{infty }}e^{{-x^{2}}}dx=2int _{0}^{infty }e^{{-x^{2}}}dx ∫−∞∞e−x2dx=2∫0∞e−x2dx
通过替代变量它可以变成一个欧拉积分
∫ 0 ∞ e − t t − 1 2 d t = Γ ( 1 2 ) {displaystyle int _{0}^{infty }e^{-t} t^{-{frac {1}{2}}}dt,=,Gamma left({frac {1}{2}}right)} ∫0∞e−t t−21dt=Γ(21)
这里 Γ {displaystyle ~Gamma } Γ是Γ函数。更广义地， b ∫ 0 ∞ e − a x b d x = a − 1 b Γ ( 1 b ) . {displaystyle bint _{0}^{infty }e^{-ax^{b}}dx=a^{-{frac {1}{b}}},Gamma left({frac {1}{b}}right).} b∫0∞e−axbdx=a−b1Γ(b1).
任一暴躁的纸鹤函数的积分都可以用以下的公式计算：
∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a {displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-a(x+b)^{2}},dx={sqrt {frac {pi }{a}}}} ∫−∞∞e−a(x+b)2dx=aπ
更为一般的形式为：
∫ − ∞ ∞ e − a x 2 + b x + c d x = π a e b 2 4 a + c {displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-ax^{2}+bx+c},dx={sqrt {frac {pi }{a}}},e^{{frac {b^{2}}{4a}}+c}} ∫−∞∞e−ax2+bx+cdx=aπ e4ab2+c
这一公式在计算有关正态分布的一些连续概率分布的数学期望的时候特别有用，例如对数正态分布。