在此之前，我们已经学习了分类算法：kNN算法，回归算法：线性回归。我们知道：
机器学习就是需找一种函数f(x)并进行优化， 且这种函数能够做预测、分类、生成等工作。
那么其实可以总结出关于“如何找到函数f(x)”的方法论。可以看作是机器学习的“三板斧”：
第一步：定义一个函数集合(define a function set)第二步：判断函数的好坏(goodness of a function)第三步：选择最好的函数(pick the best one)我们先把目光放在第三步上：How to pick the best one ? 我们的目标是让损失函数最小化。这就引出了下面需要介绍的方法：梯度下降是目前机器学习、深度学习解决最优化问题的算法中，最核心、应用最广的方法。
0x01 为什么需要梯度下降算法如果我们抛开具体场景，仅从数学抽象的角度来看：每个模型都有自己的损失函数，不管是监督式学习还是非监督式学习。损失函数包含了若干个位置的模型参数，比如在多元线性回归中，损失函数： ，其中向量表示未知的模型参数，我们就是要找到使损失函数尽可能小的参数未知模型参数。
在学习简单线性回归时，我们使用最小二乘法来求损失函数的最小值，但是这只是一个特例。在绝大多数的情况下，损失函数是很复杂的(比如逻辑回归)，根本无法得到参数估计值的表达式。因此需要一种对大多数函数都适用的方法。这就引出了“梯度算法”。
我们先了解一下梯度下降是用来做什么的?
首先梯度下降(Gradient Descent, GD)，不是一个机器学习算法，而是一种基于搜索的最优化方法。梯度下降(Gradient Descent, GD)优化算法，其作用是用来对原始模型的损失函数进行优化，以便寻找到最优的参数，使得损失函数的值最小。
要找到使损失函数最小化的参数，如果纯粹靠试错搜索，比如随机选择1000个值，依次作为某个参数的值，得到1000个损失值，选择其中那个让损失值最小的值，作为最优的参数值，那这样太笨了。我们需要更聪明的算法，从损失值出发，去更新参数，且要大幅降低计算次数。
梯度下降算法作为一个聪明很多的算法，抓住了参数与损失值之间的导数，也就是能够计算梯度(gradient)，通过导数告诉我们此时此刻某参数应该朝什么方向，以怎样的速度运动，能安全高效降低损失值，朝最小损失值靠拢。
0x02 什么是梯度简单地来说，多元函数的导数(derivative)就是梯度(gradient)，分别对每个变量进行微分，然后用逗号分割开，梯度是用括号包括起来，说明梯度其实一个向量，我们说损失函数L的梯度为：
我们知道导数就是变化率。梯度是向量，和参数维度一样。
假设，我们有一个二元函数 。那么f的梯度为：
例如在点(1,2)，梯度∇f的取值为：
那么这个梯度有什么用呢？
在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率 在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向
梯度指向误差值增加最快的方向，导数为0(梯度为0向量)的点，就是优化问题的解。在上面的二元函数中，点(1,2)向着(4,2)的方向就是梯度方向 为了找到这个解，我们沿着梯度的反方向进行线性搜索，从而减少误差值。每次搜索的步长为某个特定的数值，直到梯度与0向量非常接近为止。更新的点是所有点的x梯度，所有点的y梯度
0x03 理解梯度下降算法很多求解最优化问题的方法，大多源自于模拟生活中的某个过程。比如模拟生物繁殖，得到遗传算法。模拟钢铁冶炼的冷却过程，得到退火算法。其实梯度下降算法就是模拟滚动，或者下山，在数学上可以通过函数的导数来达到这个模拟的效果。
梯度下降算法是一种思想，没有严格的定义。
3.1 场景假设梯度下降就是从群山中山顶找一条最短的路走到山谷最低的地方。
既然是选择一个方向下山，那么这个方向怎么选？每次该怎么走？选方向在算法中是以随机方式给出的，这也是造成有时候走不到真正最低点的原因。如果选定了方向，以后每走一步，都是选择最陡的方向，直到最低点。
总结起来就一句话：随机选择一个方向，然后每次迈步都选择最陡的方向，直到这个方向上能达到的最低点。
梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。假设这样一个场景：
一个人被困在山上，需要从山顶到山谷。但此时雾很大，看不清下山的路径。他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，随机选择一个方向，然后每次迈步都选择最陡的方向。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法：如果发现脚下的路是下坡，就顺着最陡的方向走一步，如果发现脚下的路是上坡，就逆着方向走一步，最后就能成功的抵达山谷。
3.2 数学推导从数学的角度出发，针对损失函数L，假设选取的初始点为；现在将这个点稍微移动一点点，得到。那么根据爱笑的战斗机展开式(多元函数的一阶展开式)：
设我们移动的“一点点”为 ，则我们可以得到，将爱笑的战斗机展开式代入其中，我们则得到：
如果我们令移动的距离分别为： ，其中规定，则可以得到：
这就说明，我们如果按照规定的移动距离公式移动参数，那么损失函数的函数值始终是下降的，这样就达到了我们要求的“损失变小”的要求了。如果一直重复这种移动，则可以证明损失函数最终能够达到一个最小值。
那么我们就可以得到损失函数值(也就是下一步的落脚点)的迭代公式：
针对于上述公式，有一些常见的问题：
为什么要梯度要乘以一个负号？
我们已经知道：梯度的方向就是损失函数值在此点上升最快的方向，是损失增大的区域，而我们要使损失最小，因此就要逆着梯度方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号
关于参数 :
我们已经知道，梯度对应的是下山的方向，而参数 对应的是步伐的长度。在学术上，我们称之为“学习率”(learning rate)，是模型训练时的一个很重要的超参数，能直接影响算法的正确性和效率：
首先，学习率不能太大。因此从数学角度上来说，一阶爱笑的战斗机公式只是一个近似的公式，只有在学习率很小，也就是很小时才成立。并且从直观上来说，如果学习率太大，那么有可能会“迈过”最低点，从而发生“摇摆”的现象(不收敛)，无法得到最低点其次，学习率又不能太小。如果太小，会导致每次迭代时，参数几乎不变化，收敛学习速度变慢，使得算法的效率降低，需要很长时间才能达到最低点。 3.3 致命问题梯度算法有一个比较致命的问题：
从理论上，它只能保证达到局部最低点，而非全局最低点。在很多复杂函数中有很多极小值点，我们使用梯度下降法只能得到局部最优解，而不能得到全局最优解。那么对应的解决方案如下：首先随机产生多个初始参数集，即多组；然后分别对每个初始参数集使用梯度下降法，直到函数值收敛于某个值；最后从这些值中找出最小值，这个找到的最小值被当作函数的最小值。当然这种方式不一定能找到全局最优解，但是起码能找到较好的。
对于梯度下降来说，初始点的位置，也是一个超参数。
0xFF 总结在机器学习的“三板斧”中，第三步的目标是让损失函数最小化，从而引出了梯度下降法，这一目前机器学习、深度学习解决最优化问题的算法中，最核心、应用最广的方法。所谓梯度下降，是一种基于搜索的最优化方法，其作用是用来对原始模型的损失函数进行优化，找到使损失函数(局部)最小的参数。
首先对梯度下降有一个整体的印象：梯度是向量，是多元函数的导数，指向误差值增加最快的方向。我们沿着梯度的反方向进行线性搜索，从而减少误差值，是为梯度下降。然后我们通过“下山”这样的模拟场景，以及严谨的数据公式推导深刻理解了梯度下降算法，并引出了学习率的概念。最后我们给出了梯度下降方法的不足和改进方法。
相信大家看完本篇文章后，对梯度下降算法一定有了一个更加深刻的认识。如果没懂？那就再多看几遍吧(笑)