本篇开始，我们总结定积分的相关内容，本篇主要内容是定积分的引入、概念和性质
引入记得作者在序章中讲高数研究的主要对象时，讲过两个例子分别对应微分问题和积分问题，这次我们就引入一个跟当时的例2类似的例子
请求出下面这个曲边梯形的面积
为了比较好理解，还是借助之前序章中的基本思想，分匀合精，但是这边稍有不同
第一步，我们将区间[a,b]分成n个小份
a=x0<x1<x2<…<xn=b，如下图
令Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,以此类推则Δxi=xi-xi-1 （1<=i<=n)
第二步,取一小部分出来
取hi∈[xi-1,xi]
这时候第i个小部分的面积Si≈f(hi)Δxi （1<=i<=n）
注意这里是约等于，因为上面是曲边的，所以会存在误差，即使误差不大
所以整个曲边梯形的面积，emmmm这么写太难受了，插图片
这时候的S与曲边梯形的面积还是有误差的，我们来把误差消除或减小
第三步，缩小误差
令λ=max(Δx1,Δx2…Δxn)
我们把划分的最大的部分拿出来，它就是体现整个图形划分细密程度的体现，如果划分的最大的部分都已经很小了，是不是就说明整个图形的划分都是很小很细密的？
接下来就是精确化的步骤，喜闻乐见的求极限
这样我们就得到了题目中曲边梯形的面积。
这种方式实施起来几乎是不可能实现的，但是重点体会解题过程中体现的思想，还有很多类似的例子都可以使用这种思想，这里不再列举了。
定积分的定义注解1
跟引入的题目中相同的处理步骤，第一步将区间划分，第二部求小部分面积之和，第三步找到划分标准λ，第四步结果的精确化。
到这里先停一下，回头看一下定义中的条件，f(x)在[a,b]上有界，这个条件emmm……太弱了，没有办法保证定义中第四步的极限一定是存在的，所以这个极限有可能是不存在的，这个需要注意一下。
所以真正的定义应该是
是不是有点头皮发麻？我搞个定积分就一个概念还要分步骤1234，最后还要考虑极限是不是存在？，告诉你一个好消息，你想多了，所谓定积分就只是我们上面说的那个极限，前面的几步只是帮助理解这是个什么东西，不信你把前面的步骤去掉试试看能不能看懂。
给一个小提示，一个函数的定积分的本质，是一个极限，如果这个极限存在，应该是一个确定的值，换句话说，函数的定积分应该是一个————常数
注解2
定积分的几何意义，上个图
有曲线L:y=f(x),图中L所成的曲边梯形的面积也就是阴影部分的A就是f(x)在[a,b]上的定积分
如果把曲线f(x)换成速度与时间的函数关系呢？ v(t),定积分就应该是在[a,b]上走过的路程
注解3
关于极限唯一性的说明
在定义的第一步和第二步中很显然对于区间的划分和hi的取法是不唯一的，一千个人有一千种取法，而我们知道极限是具有唯一性的，对于不唯一的极限，那叫极限不存在。
我想说的是，本篇中我们的定积分，也就是定义中第四步的那个极限，与[a,b]的分法和hi的取法无关。换句话说随你怎么折腾这个区间随便怎么取hi，极限的值是不会变的
强调，函数有界不一定可积 例如
那么有没有一定可积的函数呢？有！
定积分的一般性质
定积分的性质
性质一：加减的定积分=定积分的加减
性质二：常数可提取
性质三：积分可分割
这个就不做证明了，做个说明吧
首先我们已经知道了定积分的几何意义是曲边梯形的面积，当a<b时如下图
下面我们分三种情况讨论，分别是a<c<b;c<a<b和a<b<c
也就是下图分别表示的情况
也就是说对于性质三，只要a<b无论三者位置关系都成立
性质4
再从几何意义的角度来看，当f(x)恒等于1时，曲边梯形就变成了举行，面积就是(b-a)*1
性质5
可以看出此时定积分就是曲边梯形的面积A
此时定积分就是曲边梯形面积的相反数-A
这里就不再放理论证明了。
推广
性质六
同样可以用几何意义理解，先积分再绝对值，再面积上会有一部分抵消掉，先绝对值再积分，就是先把下方的图形翻转上来再积分。
性质七（重点）：积分中值定理
依托图像，f(x)在[a,b]上的定积分就是图中曲边梯形的面积，等号右边的意思是曲边梯形的面积等于函数在[a,b]上某一点的函数值与底边的乘积。
可以看出如果图中的两块阴影部分的面积相等，那么这个结论成立。
看到f(x)∈c[a,b]想到啥？函数在闭区间上连续，最值定理、介值定理、有界定理、零点定理，这里我们选择介值定理。
例1
本篇完。