Wald检验
Wald 检验是先对原方程（无约束模型）进行估计，得到参数的估计值，再代入约束条件检查约束条件是否成立。Wald检验的优点是只需估计无约束一个模型。因此，当约束模型的估计很困难时，此方法尤其适用。在本例中，我们使用Wald检验来判断样本农户生产函数是否满足规模报酬不变假设。
如果估计的生产函数是C—D函数形式：
如果估计的生产函数是Translog函数形式：
有读者在后台留言想多了解下Wald检验，本期我们对Wald检验、LM检验和LR检验做一个比较，希望对大家有所启发。
基本定义
LR （Likelihood ratio test）似然比检验
LM (Lagrange multiplier (socre) tests) 拉格朗日乘子检验
Wald检验
F检验适用于检验模型的线性约束。如果模型是非线性的、或者约束是非线性的、或者扰动项分布是非正态的，在这些情况下，F检验不再适用，通常需要采用LR、Wald、LM其中之一来检验约束条件是否成立。这三个检验方法是渐进等价的，他们所用统计量的小样本分布是未知的，但都渐进服从自由度为约束个数的卡方分布。
LR 统计量则是分别计算在约束和无约束条件下的参数估计值，然后计算二者的对数似然函数是否足够接近；
Wald 统计量我们先对无约束模型得到参数的估计值，再代入约束条件检查约束条件是否成立；
LM 统计量则考察约束条件的拉格朗日乘子是否为零，因为假设约束条件成立，那么这个约束条件应该对我们的估计没有影响，那么拉格朗日乘子应该为0。这是三个检验的基本思想。至于为什么渐进等价，则要一些推导。基本上三者的大小差距为O（1/n)。
1、似然比检验的思想是：如果参数约束是有效的，那么加上这样的约束不应该引起似然函数最大值的大幅度降低。也就是说似然比检验的实质是在比较有约束条件下的似然函数最大值与无约束条件下似然函数最大值。似然比定义为有约束条件下的似然函数最大值与无约束条件下似然函数最大值之比。以似然比为基础可以构造一个服从卡方分布统计量。
2、wald检验的思想是：如果约束是有效的，那么在没有约束情况下估计出来的估计量应该渐进地满足约束条件，因为MLE是一致的。以无约束估计量为基础可以构造一个Wald统计量，这个统计量也服从卡方分布；
3、拉格朗日乘数检验的思想是：在约束条件下，可以用拉格朗日方法构造目标函数。如果约束有效，则最大化拉格朗日函数所得估计量应位于最大化无约束所得参数估计值附近。这里也是构造一个LM统计量，该统计量服从卡方分布。
对于似然比检验，既需要估计有约束的模型，也需要估计无约束的模型；对于Wald检验，只需要估计无约束模型；对于LM检验，只需要估计有约束的模型。一般情况下，由于估计有约束模型相对更复杂，所有Wald检验最为常用。对于小样本而言，似然比检验的渐进性最好，LM检验也较好，Wald检验有时会拒绝原假设，其小样本性质不尽如人意。
线性模型中的GMM距离检验及其与LR、LM和Wald检验的关系
本文通过对线性模型中GMM距离检验的分析解读，阐释并证明了计量经济中的三大检验LR、LM和Wald检验可视为GMM检验的特殊情况，从而说明了GMM距离检验是更一般化的检验方法并有着广泛的应用价值。
wald 检验一般适用于检验非线性的约束条件（当然也可以检验线性的约束条件），通过对原方程（无约束模型）进行估计，构造出检验统计量，该统计量在大样本下服从卡方分布，自由度为约束条件。具体的表达式可以参见忧郁的白开水的《计量经济学》，该书中有对wald检验的一个简要介绍，给出的例子一个是线性的约束条件，一个是非线性的约束条件。