问题描述：
函数趋近于X0有极限,则有局部有界性.不是必然的吗?
定义是说F在x0的某空心邻域内有界.如果说函数在x趋近于x0时有界,那当f在x0的某空心邻域必然有界啊,这不是废话么= =因为ξ是任意的,那只要当ξ任意小的时候,其实这个邻域也就是趋近于x0点本身了啊,所以它的界也就是极限值啊?而且一个函数你任意选定两个点,其间的函数肯定是有界的不是吗?只要那两个点不是取到定义域的端点处.就像在一个函数图象上任意截一段图象那图象肯定是有界的啊,那这个性质还有什么意义呢?真心混乱了,
1个回答
分类：
数学
2014-10-22
问题解答：
我来补答
怎么会没有意义呢,这个定理说的是由极限存在推出局部有界性,已知条件是存在极限,欲证结论是在某空心临域内有界,这是需要严格证明的啊,
“如果说函数在x趋近于x0时有界,那当f在x0的某空心邻域必然有界啊”
关键是你现在只知道极限存在,你如何得知“函数在x趋近于x0时有界”,这是要证的.
极限的定义里并没有任何地方牵涉到有没有界的问题,定义只是说“在临域内函数有定义”,至于为什么由此可以导出有界性,那不正是这个定理所要解决的问题么?
再问： 那为什么是局部有界而不是有界呢？定义说如果有极限，则存在ξ>0，使得函数对一切x属于u°(X0;ξ)有界，那ξ可以是任意的，如果ξ取到无穷，那不就是整个函数有界了？
再答： 定义可不是这么说的啊…… 极限定义中根本就没有提到任何有界性，他只是说，无论你想和极限A的差距多小都是可以的，只要靠的足够近(也就是ξ足够小)。不要曲解这个定义，这个定义根本不涉及关于有界的任何论述，不信可以去翻高数书。 你考虑一个这样的函数，它在x负方向上无限增长，在正方向上无限趋于0(也就是趋于正无穷时极限为0)，此时他就是局部有界而不是全域有界。 在“则存在ξ>0”前面还有一句话你给忽略了，那就是“对于任何a>0，都存在ξ>0,使得x与x0的距离在ξ以内时，函数值与极限值的差距可以在a以内” 这个ξ是针对a而说的，先定a，然后我保证可以给出一个ξ，他并不是像你写的那样独立存在无法无天的，而且也并没有提到有界性啊 有疑问的话请继续追问，这种基础概念确实是要好好思考一下的
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