文章目录 一、被积分函数分析二、积分函数分析参考
在看天线理论时遇到了正弦积分与余弦积分函数，为了更好的理解这个函数的性质，使用Python将这两个函数的图像复现出来，同时画了被积函数的图像。
图1 书上的公式示例 正弦积分函数： S i x = ∫ 0 x sin x x d x Sitext{ }x=int_{0}^{x}{frac{sin x}{x}dx} Si x=∫0xxsinxdx；被积分函数是 sin x / x sin x/x sinx/x，积分区间是 ( 0 , x ) left( 0,x right) (0,x)。余弦积分函数： C i x = − ∫ x ∞ cos x x d x = ∫ x ∞ − cos x x d x Citext{ }x=-int_{x}^{infty }{frac{cos x}{x}dx}=int_{x}^{infty }{-frac{cos x}{x}dx} Ci x=−∫x∞xcosxdx=∫x∞−xcosxdx；被积分函数 − cos x / x -cos x/x −cosx/x，积分区间是 ( x , ∞ ) left( x,infty right) (x,∞)，这里将Ci x的负号写到了被积分函数里面。 一、被积分函数分析使用matplotlib里面的plot函数作图，代码里需要注意的地方是起始点是0.2不是0，否则会因为 − cos x / x -cos x/x −cosx/x的值是-∞而作图比例不协调。通过函数图像可以得到两个被积分函数的性质。
sin x / x sin x/x sinx/x：当x=0时其值为1是最大，之后波动趋向于0； − cos x / x -cos x/x −cosx/x：当x=0时其值为-∞是最小，之后波动趋向于0；两者共同趋向于0的原因是分子的范围是[-1,1]，而分母最终会趋向于正无穷大，所以结果最终会趋向于0。
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.arange(0.2, 10, 0.01) # x参数：0.2 10是范围 0.01是分辨率，因为x<0.2时，余弦积分无穷大，所以从0.2开始# 先看下sin(t)/t与-cos(t)/t的图像 这里x的范围是x>0.2，是因为x<0.2时余弦积分无穷大会超出边界，所以从0.2开始sin_t = np.sin(x)/xcos_t = np.cos(x)*(-1)/xplt.title('被积分函数') # 添加标题plt.plot(x, sin_t, label="sinx/x")plt.plot(x, cos_t, label="cosx/x")plt.legend(loc='upper left') # 显示在左上,解决label不显示的问题plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 这一行和下一行解决中文显为方框的问题plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.show() 图2 被积分函数图像 二、积分函数分析可以看到Cinx和 sin x / x sin x/x sinx/x有重合的部分，这个对应 C i x ≈ sin x x , x ≥ 1 Citext{ }xapprox frac{sin x}{x},xge 1 Ci x≈xsinx,x≥1，尤其是在x≥2之后几乎是重合的，不过因为求Ci x这里使用了近似解。
最终余弦积分的结果趋向于0，这是因为他的积分区间导致的，x→∞时，积分区间长度为0。正弦积分区间趋向于1.5708书上Si x和Ci x函数值如表1所示余弦积分的积分到∞代码实现不了，使用积分到300进行工程近似，即第23行代码的v_cos[a], err = integrate.quad(g, x[a], 300) 表1 Si x和Ci x函数值 xSi xCi x00 − ∞ -infty −∞ π / 2 pi /text{2} π/21.3710.472 π pi π1.8520.074 3 π / 2 3 pi /text{2} 3π/21.608-0.198 2 π 2 pi 2π1.418-0.0227 3 π 3pi 3π1.6750.011 4 π 4pi 4π1.492-0.006 ∞ infty ∞1.57080from scipy import integrateimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.arange(0.2, 10, 0.01) # x参数：0.2 10是范围 0.01是分辨率，因为x<0.2时，余弦积分设计无穷大，所以从0.2开始v = x * 0.0 # 初始化v和x的长度一致，并且都是0.0,小数,0的话就是整数了v_cos = x * 0.0# 先看下sin(t)/t与cos(t)/t的图像sin_t = np.sin(x)/x # sin(x)/x的积分是从0→x，直接从前积分就行，没有进行近似cos_t = np.cos(x)*(-1)/x # cos(x)/x的积分是从x→∞，后面的积分可以忽略，所以只计算到的积分是30即可，主要看趋势def f(t): # return np.sin(t)/t # 积分公式里的函数，这里的变量x和上面的x冲突了，修改为tdef g(t): return np.cos(t)*(-1)/t # 积分公式里的函数，这里的变量x和上面的x冲突了，修改为tfor a in range(0, len(x), 1): # 第一个积分出来是nan,先跳过第0个元素 v[a], err = integrate.quad(f, 0, x[a]) # 0,np.pi是积分范围，在最后的画图里面np.pi应该是变量 v_cos[a], err = integrate.quad(g, x[a], 300) # v_cos[a], err = integrate.quad(g, 30, x[a])plt.title('正弦/余弦积分') # 添加标题plt.plot(x, v, label="Si x")plt.plot(x, v_cos, label="Ci x")plt.plot(x, sin_t, label="sinx/x")plt.plot(x, cos_t, label="cosx/x")plt.legend(loc='upper left') # 显示在左上,解决label不显示的问题plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 这一行和下一行解决中文显为方框的问题plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.show() 图3 正弦/余弦积分函数图像 参考 《天线理论与技术》矮小的鼠标，P46百度百科-正弦积分百度百科-余弦积分