话说连续和离散之间虽说形似对立，实则大有关联，二者之间有互相转化的方法，也有着截然不同的性质，我们学习的信号系统、数字信号处理都是基于两个状态对比进行学习的——离散和连续。
这个东西其实小孩没娘，说来话长，我还是想从自己的感性认知出发，连续和离散的关系并不是一种对立的状态，更像是一种拮抗的状态，在一些情形下，形式有利于连续状态，则环境和物体就会表现成连续的，而到了另外的环境下，当离散处于主场时，就会显现出一些奇怪的，难以理解的性质。如同光量子的性态一样，当其数量较小时，光量子表现出一种粒子性（离散），而当其数量远超单体数量时，大量的随机量子又表现出波动性（连续）。当然，这其实还深深地与概率相挂钩，但是我们暂且不提。这两个性质并不像概率论中的两个变量独立一样，而更像是相关且互相压制，随着尺度的不同，很多物质表现的是连续->离散->连续，不断循环，当我们以为光是波时，它在微光上展现出了一种粒子的性态，而当我们一位物体的基本组成是基础粒子和单体粒子时，再往下却发现单体的粒子并表现为一个个体，而是‘自成一波’（概率波），而当我们往宏观尺度研究时，地球上的山川河流无不显示成一个个连续的美景，但是，当再往宏观时，一个个星球又成为了相互独立且看似老死不相往来的个体，且惊奇地存在着原子能级轨道一般的运行轨道。宇宙速度就像原子能级一样独立出来，当卫星获得足够跃迁能时，就可以脱离地球、脱离太阳系成为自由的‘离子’。当然，当我们再往宏观上走时，物质世界又变成了连续的银‘河’。连续和离散这两性态在我们的物理刻度上交替轮流占据主场。
当然，不一定说是在某个尺度区间内就只能有连续状态，至少，对于我们的刻度上，离散和连续是可以相互转换的，在电子技术层面上来讲，这俩性质叫做数字和模拟（数电和模电可真谓是两绝），当然，信息类的专业课程还是多偏理科一点，也就偏数学一点，还是习惯以离散和连续相称，那么相同尺度之间如何实现离散连续转化呢？电子有ADC和DAC，这个等我硬件做的好了就在硬件专栏讲，我们的理论实现其实是采样和内插，由于我们的主观世界惯性意识是：世界是连续的，所以我们研究的很多问题是从连续入手，以一种微积分的思路把连续的东西视作无数个连续的单位叠加在一起形成的（这其实是微积分的基础思维，我在数分栏day1有讲到），所以我们研究问题的起点是连续，先从傅里叶级数开始推导连续时间的傅里叶变化以及拉普拉斯变换，然后用个采样定理以及映射关系就可以推广到离散傅里叶变换以及Z变换，而这其中的关键就在于单纯的砖头采样定理。
单纯的砖头采样定理说了啥呢？我不太想讲他的理论内容，我更想思考一下它成立的基础条件。我们可以从感性认知上来研究，我们认知中的信号肯定是有着无穷细节的（这个需要好好思考什么是无穷细节），如果接触过大学的物理或者一些基础的理论而言，任何物质是无法完全预测的，那么我们使用一些信号时，这些信号应该是存在着一些极微小但是在幅度上也即微小的噪声的（一般而言频率越高的造成其幅度也很会很小），照着这样的推理走，我们可以明白，一个信号本身是存在频率接近于无穷的高频分量的，但是我们可以将之忽略，这并没有任何关系，信号之所以区别于噪声，主要原因在于，这些信号是我们想要的，需要人为提取出来的，即使无法单独将它拎出来，我们也得想办法将之放大，或者将其他噪声抵消。那么实际上我们在得到一批原始信号时，首先需要对其进行滤波操作，或者用点通俗的话来讲，把有用的东西筛一下。
那么关键来了，我们对于想要的信号，是有一个大概的估计的，对于其最高频率会有一个估计，这个估计就是我们筛选信号的依据，至于单纯的砖头定律说明了什么呢？它说只要按照信号最高频率的二倍进行采样，那么采样出来的离散信号可以完整还原出原来的连续信号。这个定理是正确的，但是如果生用在现实世界中，正如我前面所言，信号肯定是有区域无穷的高频分量，那么找不到更高频率的采样频率来还原现实世界的信号。但是，当我们知道自己想要的信号时就不一样了，如果我们想要一些确定频率的信号，就可以按照目标信号的最高频率去设计采样频率，理论上2倍最高频率即可，但是现实中会在4倍至10倍之间。对于目标信号而言，它肯定存在一个最高频率fm，过了这个频率的信号我们就不要了，而对于采样其而言，我们可以设置其采样频率fh,这个关系fh>2*fm是采样后不失真的充要条件。
那么什么是失真呢？我想这里要就要讲到采样的本质了，这就涉及到了信号的周期性，傅里叶变换的本质以及频率这一概念的实际意义。因为只说单纯的砖头采样定律很那触及本质的东西，顺带把傅里叶级数等内容给复习串一下吧。
先从频率入手吧，一般而言，一个非周期的信号是不存在频率的，因为频率是周期的倒数，也就是说大部分函数应该是不存在所谓的周期和频率的，然而，伟大的傅里叶证明了一个东西：任何连续的函数可以分解为很多个周期信号的线性组合（傅里叶级数），就像我们在数分里面学到的，傅里叶级数就是用无穷个cos函数近似某一个连续函数，更广义一点来讲就是，任意函数可表示为周期函数的线性组合，那么每个周期函数都有各自的周期，也都有各自周期的倒数（频率），而具体一个函数（信号）有哪些频率分量呢？这个不是说非周期就会有所有的频率分量，那么这就推广到了傅里叶变换，傅里叶变换的工作就是把一个信号中每个周期信号通过频率展现出来，也就是说，傅里叶变换将信号的各个周期部分用其周期的倒数表达在了另外一个域上，在傅里叶变换后得到的频率图谱就是一个成分图，每个不为零的ω0都表示原信号中含有cos（1/ω0）π 的分量，而至于这个分量的系数是多少呢？就得取决于频谱图中ω0对应的幅度了。
另外，对于一个周期信号而言，除了其幅度而言，还有一个很重要的东西，也就是其相位，如果两个周期分量如cos(ω0π+φ1）与cos(ω1π+φ2）以不同的φ1、φ2分别组合时，得到的实际信号是不一样的，对吧，那么我们就需要分析一个信号其各个周期组分各自的初始相位。通过傅里叶变换后可以得到的信号是可以分别分析出幅度谱和相位谱的，二者可在特殊的情况下合并在同一张谱上。
我们主要从幅度谱入手，如前所述，真实信号是不存在最高频率的，但是目标信号有，所以我们可以按照目标信号的最高频率fm的二倍采样，那么在频域上的到其幅度谱就会变成-ωm到+ωm之间的连续频谱，如果对于一个连续信号而言，不限制信号频率也可以无失真的在频域和时域之间自由转换，只要套用傅里叶公式就行了，但是离散不行（而且连续的方法在实际工程中根本无法使用），离散信号是连续信号经过采样后得到的，采样对频谱的影响是：频谱周期延拓，如果我以fs频率进行采样，那么原本连续信号的频谱将会以2π/fs为周期进行延拓，正常连续信号应该是在频谱上几乎连续的，也就是说信号周期延拓必然造成其频率分量互相叠加造成某些频率分量对应的幅值产生变化（失真）。但是我们的目标信号可经过前置滤波器把高频分量给筛选掉，使得信号只存在fm以下的分量。那么其频谱实际上就变成了-ωm(2π/fm)到+ωm之间的连续频谱，在将之进行采样延拓后，频谱图就变成了周期为2ωs的图像。且-ωs到+ωs之间没有频谱的重叠。
这个东西理解起来还挺麻烦的，但是也很有意义，频域和时域的一种对称性以及连续离散的对称性使得情况变得曼妙，当我们对时域进行采样时，频域的信号会变成周期信号，而反过来，我们对连续的频域进行采样时，我们会在时域得到周期延拓，反从这个方向来想显得更加通俗易懂，频域采样提取了离散的ω0，ω1，ω2…这意着时域信号变成了多个cos（ωn）的线性组合，实际山就变成了一个周期信号。