x > 0 , y > 0 , p > 0 , q > 0 , 1 p + 1 q = 1 x>0,y>0,p>0,q>0,frac{1}{p}+frac{1}{q}=1 x>0,y>0,p>0,q>0,p1+q1=1
则 x y ≤ x p p + y q q xylefrac{x^p}{p}+frac{y^q}{q} xy≤pxp+qyq
当且仅当 x p = y q x^{p}=y^{q} xp=yq时取等
证明：
要证明 x y ≤ x p p + y q q xylefrac{x^p}{p}+frac{y^q}{q} xy≤pxp+qyq
等价于证明 ln x y ≤ ln ( x p p + y q q ) ln xy le ln (frac{x^p}{p}+frac{y^q}{q}) lnxy≤ln(pxp+qyq)
f ( x ) = ln x , f ′ ′ ( x ) = − 1 x 2 < 0 f(x)=ln x,f''(x)=-frac{1}{x^2}<0 f(x)=lnx,f′′(x)=−x21<0
由Jensen不等式
ln ( x p p + y q q ) ≥ 1 p ln x p + 1 q ln x q = ln x y ln (frac{x^p}{p}+frac{y^q}{q})ge frac{1}{p} ln x^p +frac{1}{q} ln x^{q}=ln xy ln(pxp+qyq)≥p1lnxp+q1lnxq=lnxy
当且仅当 x p = y q x^{p}=y^{q} xp=yq时取等